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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:12 Mi 09.02.2011 | | Autor: | hilado |
| Aufgabe | | Wie in der Vorlesung erwähnt, ist die symmetrische Gruppe (Sym(n), [mm] \circ) [/mm] im Allgemeinen nicht abelsch. Seien nun [mm] \pi, \rho \in [/mm] Sym(n) und bezeichne [mm] F(\pi) [/mm] bzw. [mm] F(\rho) [/mm] die menge der Fixpunkte von [mm] \pi [/mm] bzw. [mm] \rho. [/mm] Es gelte [mm] F(\pi) \cup F(\rho) [/mm] = [mm] \{1, ..., n\}. [/mm] Zeigen SIe, dass dann [mm] \pi \circ \rho [/mm] = [mm] \rho \circ \pi [/mm] gilt. |
Ich hab ein bisschen nachgedacht, ich kann das leider nicht ganz formal hinschreiben. Ich hab aber einen Text geschrieben, der meinen Beweis zeigen soll:
Wir nehmen ein Element aus [mm] \pi, \pi_{i} [/mm] und denken uns dieses Element als ein Fixpunkt, d.h., die Zahl bildet auf sich selber ab (1 -> 1, 2 -> 2, ..., bei der Permutation). In diesem Fall ist bei [mm] \rho_{i} [/mm] kein Fixpunkt an der Stelle. Die Komposition von [mm] \pi_{i} [/mm] und [mm] \rho_{i} [/mm] ergibt [mm] (\pi_{i} \rho_{i}) [/mm] (in der Zyklenzerlegung). Da die Reihenfolge egal ist, kann man auch [mm] (\rho_{i} \pi_{i}) [/mm] schreiben, also [mm] \rho_{i} \circ \pi_{i}.
[/mm]
Argumentation für den Fall, dass [mm] \pi_{i} [/mm] kein Fixpunkt ist, dagegen [mm] \rho_{i} [/mm] ein Fixpunkt (da ja [mm] F(\pi) \cup F(\rho) [/mm] = [mm] \{1, ..., n\} [/mm] ist diesselbe.
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> Wie in der Vorlesung erwähnt, ist die symmetrische Gruppe
> (Sym(n), [mm]\circ)[/mm] im Allgemeinen nicht abelsch. Seien nun
> [mm]\pi, \rho \in[/mm] Sym(n) und bezeichne [mm]F(\pi)[/mm] bzw. [mm]F(\rho)[/mm] die
> menge der Fixpunkte von [mm]\pi[/mm] bzw. [mm]\rho.[/mm] Es gelte [mm]F(\pi) \cup F(\rho)[/mm]
> = [mm]\{1, ..., n\}.[/mm] Zeigen SIe, dass dann [mm]\pi \circ \rho[/mm] =
> [mm]\rho \circ \pi[/mm] gilt.
> Ich hab ein bisschen nachgedacht, ich kann das leider
> nicht ganz formal hinschreiben. Ich hab aber einen Text
> geschrieben, der meinen Beweis zeigen soll:
>
> Wir nehmen ein Element aus [mm]\pi, \pi_{i}[/mm] und denken uns
> dieses Element als ein Fixpunkt, d.h., die Zahl bildet auf
> sich selber ab (1 -> 1, 2 -> 2, ..., bei der Permutation).
> In diesem Fall ist bei [mm]\rho_{i}[/mm] kein Fixpunkt an der
> Stelle.
Warum? Da kann doch trotzdem ein Fixpunkt sein  Der Fall ist zwar trivial, du solltest trotzdem darauf eingehen.
> Die Komposition von [mm]\pi_{i}[/mm] und [mm]\rho_{i}[/mm] ergibt
> [mm](\pi_{i} \rho_{i})[/mm] (in der Zyklenzerlegung). Da die
> Reihenfolge egal ist, kann man auch [mm](\rho_{i} \pi_{i})[/mm]
> schreiben, also [mm]\rho_{i} \circ \pi_{i}.[/mm]
Deine Schreibweise ist hier nicht klar. Sind [mm] \pi_i, \rho_i [/mm] Elemente, kannst du sie nicht wie Abbildung verknüpfen.
Es muss nicht gelten, dass die beiden Permutionen dein [mm] \pi_i [/mm] und [mm] \rho_i [/mm] paarweise vertauschen. Gegenbeispiel: [mm] \pi=(123), \rho=(456). [/mm] Dann [mm] \pi\rho(4)=5, \pi\rho(5)=6,\ldots
[/mm]
>
> Argumentation für den Fall, dass [mm]\pi_{i}[/mm] kein Fixpunkt
> ist, dagegen [mm]\rho_{i}[/mm] ein Fixpunkt (da ja [mm]F(\pi) \cup F(\rho)[/mm]
> = [mm]\{1, ..., n\}[/mm] ist diesselbe.
Betrachte [mm] x\in [/mm] Sym(n) beliebig und den Fall x ist Fixpunkt bei [mm] \pi. [/mm] Dann [mm] \rho\circ\pi(x)=\rho(x). [/mm] Angenommen x ist kein Fixpunkt bei [mm] \rho. [/mm] Dann ist auch [mm] \rho(x) [/mm] kein Fixpunkt bei [mm] \rho [/mm] (denn [mm] \rho [/mm] ist bijektiv und wegen [mm] x\mapsto\rho(x) [/mm] ist [mm] \rho(x) [/mm] schon 'vergeben'). Folglich muss [mm] \rho(x) [/mm] Fixpunkt bei [mm] \pi [/mm] sein: [mm] \pi\circ\rho(x)=\rho(x), [/mm] womit für diesen Fall die Behauptung folgt.
Die anderen Fälle gehören dir, sind ja im Wesentlichen analog bzw. trivial.
Gruß,
Kamaleonti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Do 10.02.2011 | | Autor: | hilado |
| Aufgabe | | Warum? Da kann doch trotzdem ein Fixpunkt sein Der Fall ist zwar trivial, du solltest trotzdem darauf eingehen. |
Es gelte $ [mm] F(\pi) \cup F(\rho) [/mm] $ = $ [mm] \{1, ..., n\}. [/mm] $
Was ist denn damit? Heißt das nicht, dass wenn eine Zahl, egal ob [mm] \pi [/mm] oder [mm] \rho [/mm] ein Fixpunkt ist, automatisch beim anderen kein Fixpunkt ist?
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Hi
> Warum? Da kann doch trotzdem ein Fixpunkt sein Der Fall
> ist zwar trivial, du solltest trotzdem darauf eingehen.
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> Es gelte [mm]F(\pi) \cup F(\rho)[/mm] = [mm]\{1, ..., n\}.[/mm]
>
> Was ist denn damit? Heißt das nicht, dass wenn eine Zahl,
> egal ob [mm] \red{bei}[/mm] [mm]\pi[/mm] oder [mm]\rho[/mm] ein Fixpunkt ist, automatisch beim
> anderen kein Fixpunkt ist?
Nein. Betrachte dazu [mm] \pi=(12), \rho=(34) [/mm] in der symmtrischen Gruppe [mm] S_6.
[/mm]
Dann gilt [mm] F(\pi)=\{3,4,5,6\}, F(\rho)=\{1,2,5,6\} [/mm] und [mm] F(\pi)\cup F(\rho)=\{1,2,3,4,5,6\}. [/mm] Die Permutationen [mm] \pi [/mm] und [mm] \rho [/mm] erfüllen in diesem Beispiel die Bedingung. Aber 5 und 6 sind bei beiden Abbildungen Fixpunkte.
Gruß,
Kamaleonti
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:41 Do 10.02.2011 | | Autor: | hilado |
> Betrachte [mm]x\in[/mm] Sym(n) beliebig und den Fall x ist Fixpunkt
> bei [mm]\pi.[/mm] Dann [mm]\rho\circ\pi(x)=\rho(x).[/mm] Angenommen x ist
> kein Fixpunkt bei [mm]\rho.[/mm] Dann ist auch [mm]\rho(x)[/mm] kein Fixpunkt
> bei [mm]\rho[/mm] (denn [mm]\rho[/mm] ist bijektiv und wegen [mm]x\mapsto\rho(x)[/mm]
> ist [mm]\rho(x)[/mm] schon 'vergeben'). Folglich muss [mm]\rho(x)[/mm]
> Fixpunkt bei [mm]\pi[/mm] sein: [mm]\pi\circ\rho(x)=\rho(x),[/mm] womit für
> diesen Fall die Behauptung folgt.
Ich muss sagen, dass ich diesen Abschnitt leider nicht wirklich verstanden hab :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Do 10.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo,
> Ich muss sagen, dass ich diesen Abschnitt leider nicht
> wirklich verstanden hab :(
Wenn du nicht versuchst zu erklären, was genau dir unklar ist, ist es schwer dir zu helfen.
Kamaleonti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Fr 11.02.2011 | | Autor: | hilado |
> Angenommen x ist
> kein Fixpunkt bei [mm] \rho
[/mm]
Wieso nimmst du jetzt an, dass x bei [mm] \rho [/mm] kein Fixpunkt ist? Wenn bei [mm] \pi [/mm] ein Fixpunkt ist, dann ist es doch egal, ob [mm] \rho [/mm] ein Fixpunkt ist oder nicht, es bleibt ja bei $ [mm] \rho\circ\pi(x)=\rho(x). [/mm] $
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Fr 11.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hi,
> > Angenommen x ist
> > kein Fixpunkt bei [mm]\rho[/mm]
>
> Wieso nimmst du jetzt an, dass x bei [mm]\rho[/mm] kein Fixpunkt
> ist? Wenn [mm] \green{x} [/mm] bei bei [mm]\pi[/mm] ein Fixpunkt ist, dann ist es doch egal,
> ob [mm]\rho[/mm] ein Fixpunkt ist oder nicht, es bleibt ja bei
> [mm]\rho\circ\pi(x)=\rho(x).[/mm]
Das ist richtig.
Dennoch muss ich diese Fallannahme machen, um zu zeigen, dass auch [mm] $\pi\circ\rho(x)=\rho(x)$ [/mm] gilt. Lies dazu doch einmal weiter und dann siehst du, warum diese Fallannahme noch gebraucht wird.
Gruß
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