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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 So 08.05.2005 | | Autor: | regine |
Hallo,
es liege die Gruppe [m] S_n [/m] vor.
Das ist ja die symmetrische Gruppe, die aus allen Permutationen einer Menge mit n Elementen besteht.
Diese Gruppe [m] S_n [/m] besitzt dann also [m] n! [/m] Elemente.
Wie finde ich denn in dieser Gruppe die Elemente der Ordnung 2?
Danke und viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 So 08.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Regine!
Dies sind genau die Produkte disjunkter Transpositionen (also Produkte disjunkter Zykel der Länge $2$)!
Denn alle Zykel mit einer Länge größer als $2$ führen in der Darstellung der Gruppenelemente als Produkte disjunkter Zykel dazu, dass die Ordnung der Permutation größer als $2$ wird.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 So 08.05.2005 | | Autor: | regine |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort!
Ich versuche, zu rekonstruieren! :)
Jede Permutation aus [m] S_n [/m] ist ein Produkt von Transpositionen.
Ist es richtig, dass ich unter einer Transposition eine Permutation verstehen muss, bei der genau 2 verschiedene Stellen vertauscht werden? Also z.B. (1 2 3 4 5) und hier vertauscht man die 3 und die 5.
Disjunkt würde ja bei Gruppen A und B heißen, dass [m] A\cap B = \emptyset [/m].
Wie baue ich das dann zusammen?
Vielen Dank,
Regine.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Regine!
> Jede Permutation aus [m]S_n[/m] ist ein Produkt von
> Transpositionen.
Und ein Produkt disjunkter Zykel. Zwei Zykeln heißen disjunkt, wenn die Schnittmenge ihrer Träger leer ist. So sind zum Beispiel [mm] $\pmat{1 & 3}$ [/mm] und [mm] $\pmat{2 & 4 & 5}$ [/mm] disjunkt, dagegen [mm] $\pmat{1 & 3}$ [/mm] und [mm] $\pmat{3 & 4 & 5}$ [/mm] nicht.
> Ist es richtig, dass ich unter einer Transposition eine
> Permutation verstehen muss, bei der genau 2 verschiedene
> Stellen vertauscht werden?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also z.B. (1 2 3 4 5) und hier
> vertauscht man die 3 und die 5.
Du meinst den Zykel [mm] $\pmat{3 & 5}$? [/mm] Ja, richtig, das wäre eine Transposition.
Ich schreibe dir mal alle Elemente der [mm] $S_4$ [/mm] der Ordnung $2$ auf, dann siehst du vielleicht, was ich meine. Wenn nicht, dann frage bitte noch einmal nach:
[mm] $\pmat{1 & 2}$
[/mm]
[mm] $\pmat{1 & 3}$
[/mm]
[mm] $\pmat{1 & 4}$
[/mm]
[mm] $\pmat{2 & 3}$
[/mm]
[mm] $\pmat{2 & 4}$
[/mm]
[mm] $\pmat{3 & 4}$
[/mm]
[mm] $\pmat{1 & 2} \pmat{3 & 4}$
[/mm]
[mm] $\pmat{1 &3} \pmat{2 & 4}$
[/mm]
[mm] $\pmat{1 & 4} \pmat{2 & 3}$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Mo 09.05.2005 | | Autor: | regine |
Hallo,
$ [mm] \pmat{1 & 4} [/mm] $ bedeutet doch, dass $1$ und $4$ gegeneinander ausgetauscht werden und $2$ und $3$ fest bleiben, oder?
Viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Regine!
Ja, das ist völlig richtig! 
Ist dir jetzt alles klar?
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Mo 09.05.2005 | | Autor: | regine |
Hallo,
ja, danke, das ist alles klar.
Jedes [mm] $\sigma \in S_n$ [/mm] der Ordnung 2 läßt sich ja bekanntlich als Produkt von disjunkten Transpositionen schreiben; also [mm] $\sigma [/mm] = [mm] (i_1 \sigma(i_1))(i_2 \sigma(i_2))...(i_n \sigma(i_n))$, [/mm] wobei die [mm] i_1, \sigma(i_1), i_2, \sigma(i_2), [/mm] ..., [mm] i_n, \sigma(i_n) [/mm] paarweise verschieden sind und $1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le \left[ \bruch{n}{2} \right]$.
[/mm]
Angeblich, weil für ein solches [mm] $\sigma$ [/mm] für alle $i [mm] \in [/mm] { 1, .., n }$ gilt: [mm] $\sigma(\sigma(i))=i$ [/mm] und [mm] $\sigma \not= [/mm] e $.
Dies verstehe ich nun nicht mehr.
Viele Grüße,
Rgine.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Regine!
Es sei [mm] $\sigma$, [/mm] dargestellt wie bei dir, ein Produkt disjunkter Transpositionen.
Im ersten Schritt wird ja für alle $i [mm] \in \{1,2,\ldots\}$ [/mm] $i$ mit [mm] $\sigma(i)$ [/mm] vertauscht. Ansonsten passiert mir $i$ oder [mm] $\sigma(i)$ [/mm] nichts, weil die Tranpositionen disjunkt sind.
Nun wendest du wieder [mm] $\sigma$ [/mm] an. Dann wird wieder [mm] $\sigma(i)$ [/mm] mit $i$ vertauscht. Insgesamt geht also $i$ auf $i$ zurück und [mm] $\sigma(i)$ [/mm] auf [mm] $\sigma(i)$, [/mm] und das passiert für alle [mm] $i=1,2,\ldots,n$, [/mm] d.h. wir haben insgesamt die identische Abbildung. Daher gilt [mm] $\sigma^2=e$ [/mm] und [mm] $\sigma \ne [/mm] e$, d.h. [mm] $\sigma$ [/mm] hat die Ordnung $2$.
Viele Grüße
Stefan
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