Symplektische Form < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Di 23.10.2007 | | Autor: | Marty |
| Aufgabe | Die Symplektische Form w [mm] \in \wedge²(\IR^{2n}) [/mm] ist (mit der Dualbasis [mm] \alpha_{1},...,\alpha_{2n} [/mm] des [mm] \IR^{2n}) [/mm] definiert durch
[mm] w:=\summe_{k=1}^{n}\alpha_{i}\wedge\alpha_{i+n} [/mm] .
Berechnen Sie das k-fache äußere Produkt [mm] \wedge^{k}_{i=1}w\in \wedge^{2k}(\IR^{2n}) [/mm] von w, also [mm] w\wedge...\wedge [/mm] w (k-mal).
Wie lässt sich das Ergebnis für den Spezialfall k=n geometrisch deuten? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
mit den Themen die wir gerade in der Vorlesung durchnehmen (Symplektische Form, äußeres/inneres Produkt) komme ich leider gerade nicht so gut klar...
(Die w in der Aufgabenstellungen sollen übrigens omega sein)
Ich schreibe eben Mal wie ich an diese Beispielaufgabe ran gegangen bin:
[mm] w=\summe_{k=1}^{n}\alpha_{i}\wedge\alpha_{i+n}=\alpha_{1}\wedge\alpha_{1+n}+...+\alpha_{k}\wedge\alpha_{k+n}
[/mm]
also: [mm] w\wedge...\wedge [/mm] w = [mm] (\alpha_{1}\wedge\alpha_{1+n}+...+\alpha_{k}\wedge\alpha_{k+n}) \wedge...\wedge (\alpha_{1}\wedge\alpha_{1+n}+...+\alpha_{k}\wedge\alpha_{k+n})
[/mm]
jetzt müsste ich das auflösen, aber bei diesem riesigen Term kann ich das doch gar nicht!
für k=n müsste das Ergebnis so aussehen:
[mm] w=\summe_{n=1}^{n}\alpha_{i}\wedge\alpha_{i+n}=
[/mm]
[mm] =\alpha_{1}\wedge\alpha_{1+n}+...+\alpha_{n}\wedge\alpha_{2n}
[/mm]
Stimmt das überhaupt?
Und wie lässt sich sowas geometrisch deuten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Mi 24.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Ich glaube, ein Teil deiner Probleme kommt daher, dass du deine Formeln nicht richtig aufschreibst: Du vermischst freie und Summationsindizes, nimmst denselben Index für verschiedene Sachen.
> Die Symplektische Form w [mm]\in \wedge²(\IR^{2n})[/mm] ist (mit der
> Dualbasis [mm]\alpha_{1},...,\alpha_{2n}[/mm] des [mm]\IR^{2n})[/mm]
> definiert durch
> [mm]w:=\summe_{k=1}^{n}\alpha_{i}\wedge\alpha_{i+n}[/mm] .
Der Summationsindex ist entweder i oder k, aber nicht beides:
[mm]w:=\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i}\wedge\alpha_{i+n}[/mm] .
> Berechnen Sie das k-fache äußere Produkt
> [mm]\wedge^{k}_{i=1}w\in \wedge^{2k}(\IR^{2n})[/mm] von w, also
> [mm]w\wedge...\wedge[/mm] w (k-mal).
> Wie lässt sich das Ergebnis für den Spezialfall k=n
> geometrisch deuten?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Hallo,
> mit den Themen die wir gerade in der Vorlesung durchnehmen
> (Symplektische Form, äußeres/inneres Produkt) komme ich
> leider gerade nicht so gut klar...
> (Die w in der Aufgabenstellungen sollen übrigens omega
> sein)
> Ich schreibe eben Mal wie ich an diese Beispielaufgabe ran
> gegangen bin:
>
> [mm]w=\summe_{k=1}^{n}\alpha_{i}\wedge\alpha_{i+n}=\alpha_{1}\wedge\alpha_{1+n}+...+\alpha_{k}\wedge\alpha_{k+n}[/mm]
>
Korrigiert:
[mm]\omega=\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i}\wedge\alpha_{i+n}=\alpha_{1}\wedge\alpha_{1+n}+...+\alpha_{n}\wedge\alpha_{n+n}[/mm]
> also: [mm]w\wedge...\wedge[/mm] w =
> [mm](\alpha_{1}\wedge\alpha_{1+n}+...+\alpha_{k}\wedge\alpha_{k+n}) \wedge...\wedge (\alpha_{1}\wedge\alpha_{1+n}+...+\alpha_{k}\wedge\alpha_{k+n})[/mm]
[mm]\underbrace{(\alpha_{1}\wedge\alpha_{1+n}+...+\alpha_{n}\wedge\alpha_{n+n}) \wedge...\wedge (\alpha_{1}\wedge\alpha_{1+n}+...+\alpha_{n}\wedge\alpha_{n+n})}_{\text{$k$ Faktoren}}[/mm]
> jetzt müsste ich das auflösen, aber bei diesem riesigen
> Term kann ich das doch gar nicht!
Wenn du ausmultiplizierst, trägt jedes [mm]\omega[/mm] zwei Faktoren [mm]\alpha_j[/mm] bei, sodass dein Ergebnis aus lauter Summanden mit 2k Faktoren besteht.
Ferner ist das Keilprodukt antisymmtrisch, also fallen beim Ausmultiplizieren alle Summanden weg, in denen zweimal der gleiche Faktor [mm]\alpha_j[/mm] vorkommt.
Also besteht dein Ergebnis aus lauter Summanden der Form
[mm]\underbrace{\alpha_{j_1}\wedge\dots\wedge\alpha_{j_{2k}}}_{\text{$2k$ Faktoren}}[/mm],
wobei die Indizes bei den [mm]\alpha[/mm]'s alle unterschiedlich sind und von 1 bis 2n laufen.
> für k=n müsste das Ergebnis so aussehen:
>
> [mm]w=\summe_{n=1}^{n}\alpha_{i}\wedge\alpha_{i+n}=[/mm]
Du kannst nicht n als Summationsindex und Summationsgrenze nehmen! In der Definition von [mm]\omega[/mm] kommt auch gar kein k vor.
Was Du meinst ist
[mm]\underbrace{\omega\wedge\dots\wedge\omega}_{\text{$n$ Faktoren}}
= \alpha_1\wedge\dots\wedge\alpha_{2n} = \bigwedge_{i=1}^{2n} \alpha_i [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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