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Forum "Zahlentheorie" - System linearer Kongruenzen
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System linearer Kongruenzen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 Fr 01.11.2013
Autor: DrRiese

Aufgabe
Lösen Sie die folgenden Systeme linearer Kongruenzen:
a) Für x,y [mm] \in \IZ_{14}: [/mm]

   [mm] \begin{cases} 3x+7y \equiv 10 mod 14 \\ 11x-8y \equiv 6 mod 14 \end{cases} [/mm]

Hallo :-)

Habe mich an dieser Aufgabe probiert und es kam folgendes heraus:

Da gilt a [mm] \equiv [/mm] b mod m und c [mm] \equiv [/mm] d mod m [mm] \Rightarrow [/mm] a+c [mm] \equiv [/mm] b+d mod m, a,b,c,d [mm] \in \IZ, [/mm] m [mm] \in \IN [/mm] folgt:
I) 3x+7y [mm] \equiv [/mm] 10 mod 14
II) 11x-8y [mm] \equiv [/mm] 6 mod 14

I)+II): [mm] 0x-y\equiv [/mm] 2 mod 14
[mm] \Rightarrow [/mm] y=-2,
also für x [mm] \in \IZ [/mm] und für y=-2 lösbar.

Habe die Werte eingesetzt, jedoch scheinen diese Werte nicht das System zu lösen. Was ist denn hier der Fehler?

LG
DrRiese :-)

        
Bezug
System linearer Kongruenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Fr 01.11.2013
Autor: Schadowmaster

Hey,

du hast richtig gerechnet, der Fehler ist nur ein kleiner Denkfehler:
Du folgerst $y=-2$. Das heißt also du hast gezeigt:
WENN es eine Lösung $(x,y)$ gibt, so muss $y=-2$ sein.

Das heißt du kannst jetzt $y=-2$ einsetzen und überprüfen, welche $x$ in Frage kommen; ob es überhaupt $x$ gibt, die das System dann lösen.


Also mach dir nochmal genau klar, warum bei einer Folgerung nur gezeigt wird "wenn die Gleichung eine Lösung hat, so muss es diese sein", aber warum du da nicht immer eine tatsächliche Lösung rausbekommst - das ist übrigens auch der Grund, warum man wenn man folgert immer nochmal einsetzt.


lg

Schadow

Bezug
                
Bezug
System linearer Kongruenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 Fr 01.11.2013
Autor: DrRiese

Hi, danke für die Antwort :-)

Also dann setze ich mal y=-2 in die Gleichung 3x+7y [mm] \equiv [/mm] 10 mod 14 ein:
[mm] \Rightarrow [/mm] 3x [mm] \equiv [/mm] 10 mod 14 [mm] \Rightarrow [/mm] x=8, da 3*8=10 [mm] \equiv [/mm] 10 mod 14
Also lösbar für x=8, y=-2

Vielen Dank :-)

Bezug
                        
Bezug
System linearer Kongruenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 Fr 01.11.2013
Autor: Schadowmaster

Du musst aufpassen, du hast hier zwei Gleichungen.
Also bisher weißt du:
Wenn es eine Lösung gibt, so muss diese $x=8$, $y=-2$ sein.
Du musst aber wirklich in beiden Gleichungen überprüfen, ob diese Lösung wirklich eine ist.

Bezug
                                
Bezug
System linearer Kongruenzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:29 Fr 01.11.2013
Autor: DrRiese

Genau, also in die Gleichung II) eingesetzt:

11*8 - 8*12 = 4 - 12 = "-8" = 6 [mm] \equiv [/mm] 6 mod 14

Vielen Dank :-)

LG,
DrRiese

Bezug
        
Bezug
System linearer Kongruenzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:39 Fr 01.11.2013
Autor: switchback

ist -2 element Z14?
Bezug
                
Bezug
System linearer Kongruenzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:10 Fr 01.11.2013
Autor: DrRiese

Oh, richtig^^

Also dann wäre die Inverse der 2 die 12, da 2+12=0.
Dementsprechend die Lösungen x=8, y=12

LG

Bezug
                
Bezug
System linearer Kongruenzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:39 Fr 01.11.2013
Autor: Schadowmaster

Wenn man nach der exakten Definition geht, ist [mm] $\IZ_{14} [/mm] = [mm] \{[x] \mid x \in \IZ\}$, [/mm] wobei $[x]$ die Äquivalenzklasse von $x$ ist bei der Äquivalenzrelation definiert durch $x ~ y [mm] \gdw [/mm] x-y [mm] \in 14\IZ$. [/mm]

Als Restklassen haben wir hier:
$[0] = [mm] \{0,14,-14,28,-28,\ldots\}$ [/mm]
$[1] = [mm] \{1,15,-13,29,-27,\ldots\}$ [/mm]
[mm] $\ldots$ [/mm]

Rein offiziell darf aus jeder der Restklassen jeder beliebige Vertreter gewählt werden, also man darf durchaus $-2 [mm] \in \IZ_{14}$ [/mm] schreiben, es gilt dann $-2=12$.
Manchmal ist es sogar sinnvoll:
Will ich etwa [mm] $13^2$ [/mm] in [mm] $\IZ_{14}$ [/mm] ausrechnen, so rechne ich lieber [mm] $13^2 \equiv (-1)^2 [/mm] = 1$.

Man muss nur aufpassen: oft ist gefordert, das Ergebnis mit einem Vertreter aus [mm] $\{0,1,\ldots , n-1\}$ [/mm] (hier $n=14$) anzugeben, dann muss man das halt noch umrechnen.
Aber für den Anfang ist erstmal $x [mm] \in \IZ_{14}$ [/mm] nicht falsch, und zwar für alle $x [mm] \in \IZ$. [/mm]

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