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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Systeme lin. Dgl. 1. Ordnung
Systeme lin. Dgl. 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Systeme lin. Dgl. 1. Ordnung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 Mi 05.02.2014
Autor: riju

Aufgabe
x'=-x+5y
y'=-y+t
Ges. allgemeine Lösung

Ich bereite mich gerade für ne Prüfung vor und würde jetzt gern wissen ob ich die o.g. Aufgabe richtig gerechnet habe.

Hier mein Lösungsvorschlag:

Lösung
Homogener Teil:
[mm] det(A-lambdaE)=\vmat{ -1-lambda & 5 \\ 0 & -1-lambda } [/mm] =λ^2+2λ+1  => λ_1,2=-1
Eigenvektor zu λ = -1:
[mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm]
Hauptvektor, da algebraische Vielfachheit ≠ geometrischer Vielfachheit:
1/5  [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm]

Lösung des homogenen Teils:
[mm] \vektor{z1 \\ z2}= C_1 [/mm]  e^(-t)  [mm] \vektor{1 \\ 0} +C_2 [/mm]  e^(-t) [mm] (\bruch{1}{5} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1}+t\vektor{1 \\ 0}) [/mm]

Ansatz für inhomogenen Teil:
[mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{A_0 \\ B_0}+\vektor{A_1 \\ B_1}t [/mm]
[mm] \vektor{x' \\ y'})=\vektor{A_1 \\ B_1} [/mm]
[mm] \vektor{A_1 \\ B_1}= \pmat{ -1 & 5 \\ 0 & -1 } \vektor{A_0 \\ B_0}+ \pmat{ -1 & 5 \\ 0 & -1 }\vektor{A_1 \\ B_1}t+\vektor{0 \\ 1}t [/mm]
[mm] \vektor{A_1 \\ B_1}+\vektor{A_0-5B_0 \\ B_0}+\vektor{A_1-5B_1 \\ B_1}t=\vektor{0 \\ 1}t [/mm]

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
[mm] A_0=-10 [/mm]
[mm] A_1=5 [/mm]
[mm] B_0= [/mm] -1
[mm] B_1=1 [/mm]
[mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{-10 \\ -1}+\vektor{5 \\ 1}t [/mm]

Daraus ergibt sich:
[mm] \vektor{x \\ y}=C_1 [/mm]  e^(-t)  [mm] \vektor{1 \\ 0} +C_2 [/mm]  e^(-t) [mm] (\bruch{1}{5} \vektor{0 \\ 1}+t\vektor{1 \\ 0})+\vektor{-10 \\ -1}+\vektor{5 \\ 1}t [/mm]
        
Bezug
Systeme lin. Dgl. 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Mi 05.02.2014
Autor: MathePower

Hallo riju,

> x'=-x+5y
>  y'=-y+t
>  Ges. allgemeine Lösung
>  Ich bereite mich gerade für ne Prüfung vor und würde
> jetzt gern wissen ob ich die o.g. Aufgabe richtig gerechnet
> habe.
>  
> Hier mein Lösungsvorschlag:
>  
> Lösung
>  Homogener Teil:
>  [mm]det(A-lambdaE)=\vmat{ -1-lambda & 5 \\ 0 & -1-lambda }[/mm]
> =λ^2+2λ+1  => λ_1,2=-1
>  Eigenvektor zu λ = -1:
>  [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>  Hauptvektor, da algebraische Vielfachheit
> ≠ geometrischer Vielfachheit:
>  1/5  [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
>  
> Lösung des homogenen Teils:
>  [mm]\vektor{z1 \\ z2}= C_1[/mm]  e^(-t)  [mm]\vektor{1 \\ 0} +C_2[/mm]  
> e^(-t) [mm](\bruch{1}{5}[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 1}+t\vektor{1 \\ 0})[/mm]
>  
> Ansatz für inhomogenen Teil:
>  [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{A_0 \\ B_0}+\vektor{A_1 \\ B_1}t[/mm]
>  
> [mm]\vektor{x' \\ y'})=\vektor{A_1 \\ B_1}[/mm]
>  [mm]\vektor{A_1 \\ B_1}= \pmat{ -1 & 5 \\ 0 & -1 } \vektor{A_0 \\ B_0}+ \pmat{ -1 & 5 \\ 0 & -1 }\vektor{A_1 \\ B_1}t+\vektor{0 \\ 1}t[/mm]
>  
> [mm]\vektor{A_1 \\ B_1}+\vektor{A_0-5B_0 \\ B_0}+\vektor{A_1-5B_1 \\ B_1}t=\vektor{0 \\ 1}t[/mm]
>  
> Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
>  [mm]A_0=-10[/mm]
>  [mm]A_1=5[/mm]
>  [mm]B_0=[/mm] -1
>  [mm]B_1=1[/mm]
>  [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{-10 \\ -1}+\vektor{5 \\ 1}t[/mm]
>  
> Daraus ergibt sich:
>  [mm]\vektor{x \\ y}=C_1[/mm]  e^(-t)  [mm]\vektor{1 \\ 0} +C_2[/mm]  e^(-t)
> [mm](\bruch{1}{5} \vektor{0 \\ 1}+t\vektor{1 \\ 0})+\vektor{-10 \\ -1}+\vektor{5 \\ 1}t[/mm]
>  


Alles richtig. [ok]


Gruss
MathePower
Bezug
        
Bezug
Systeme lin. Dgl. 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Mi 05.02.2014
Autor: fred97


> x'=-x+5y
>  y'=-y+t
>  Ges. allgemeine Lösung
>  Ich bereite mich gerade für ne Prüfung vor und würde
> jetzt gern wissen ob ich die o.g. Aufgabe richtig gerechnet
> habe.
>  
> Hier mein Lösungsvorschlag:
>  
> Lösung
>  Homogener Teil:
>  [mm]det(A-lambdaE)=\vmat{ -1-lambda & 5 \\ 0 & -1-lambda }[/mm]
> =λ^2+2λ+1  => λ_1,2=-1
>  Eigenvektor zu λ = -1:
>  [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>  Hauptvektor, da algebraische Vielfachheit
> ≠ geometrischer Vielfachheit:
>  1/5  [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
>  
> Lösung des homogenen Teils:
>  [mm]\vektor{z1 \\ z2}= C_1[/mm]  e^(-t)  [mm]\vektor{1 \\ 0} +C_2[/mm]  
> e^(-t) [mm](\bruch{1}{5}[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 1}+t\vektor{1 \\ 0})[/mm]
>  
> Ansatz für inhomogenen Teil:
>  [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{A_0 \\ B_0}+\vektor{A_1 \\ B_1}t[/mm]
>  
> [mm]\vektor{x' \\ y'})=\vektor{A_1 \\ B_1}[/mm]
>  [mm]\vektor{A_1 \\ B_1}= \pmat{ -1 & 5 \\ 0 & -1 } \vektor{A_0 \\ B_0}+ \pmat{ -1 & 5 \\ 0 & -1 }\vektor{A_1 \\ B_1}t+\vektor{0 \\ 1}t[/mm]
>  
> [mm]\vektor{A_1 \\ B_1}+\vektor{A_0-5B_0 \\ B_0}+\vektor{A_1-5B_1 \\ B_1}t=\vektor{0 \\ 1}t[/mm]
>  
> Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
>  [mm]A_0=-10[/mm]
>  [mm]A_1=5[/mm]
>  [mm]B_0=[/mm] -1
>  [mm]B_1=1[/mm]
>  [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{-10 \\ -1}+\vektor{5 \\ 1}t[/mm]
>  
> Daraus ergibt sich:
>  [mm]\vektor{x \\ y}=C_1[/mm]  e^(-t)  [mm]\vektor{1 \\ 0} +C_2[/mm]  e^(-t)
> [mm](\bruch{1}{5} \vektor{0 \\ 1}+t\vektor{1 \\ 0})+\vektor{-10 \\ -1}+\vektor{5 \\ 1}t[/mm]
>  
>  


Viel einfacher wirds, wenn Du aus den beiden Gleichungen

x'=-x+5y
y'=-y+t

folgendes herausholst:

(*) x''+2x'+x=5t

Das ist eine lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Die zugehörige homogene Gl. hat das einfache char. Polynom [mm] (\lambda+1)^2 [/mm]

Bestimme also die allg. Lösung von (*)

Aus 5y=x'+x etc.....

FRED
Bezug
                
Bezug
Systeme lin. Dgl. 1. Ordnung: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:17 Mi 05.02.2014
Autor: riju

Leider hatte ich das so nicht, daher verstehe ich das nicht ganz. Aber trotzdem danke schön.
Bezug
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