TR als Loesungsmenge eines LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei K ein Koerper, und sei [mm] n\in\IN. [/mm] Man zeige, dass jeder Teilraum von
[mm] K^n [/mm] die Loesungsmenge eines geeigneten linearen (homogenen) Gleichungssystems ist. |
Hallo liebes Forum,
Ich moechte mir die durch die Aufgabenstellung gegebene Aussage anhand
eines Beispiels (also kein Beweis!) veranschaulichen. Ich bekomme das
jeweilige Gleichungssystem jedoch nicht aufgestellt.
Mein Beispiel sieht wie folgt aus:
Sei T der Teilraum von [mm] \IR^4 [/mm] (also [mm] K=\IR, [/mm] n=4), der durch die geordnete
Basis
[mm] X_T [/mm] := ((2,1,0,0), (0,3,0,0))
aufgespannt wird. Es gilt also offensichtlich dim T = 2.
Ergaenze [mm] X_T [/mm] zu einer geordneten Basis X von [mm] \IR^4 [/mm] :
X := [mm] (\underbrace{(2,1,0,0)}_{= x_1}, \underbrace{(0,3,0,0)}_{= x_2}, \underbrace{(0,0,4,0)}_{= x_3}, \underbrace{(0,0,0,1)}_{= x_4}).
[/mm]
Nun folgt der Basiswechsel von der Standardbasis von [mm] \IR^4 [/mm] zu X:
Fuer die Vektoren der Standardbasis von [mm] \IR^4 [/mm] erhaelt man (der Vollstaendigkeit halber mit Null-Skalaren angegeben):
(1,0,0,0) = [mm] \bruch{1}{2}x_1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}x_2 [/mm] + [mm] 0x_3 [/mm] + [mm] 0x_4
[/mm]
(0,1,0,0) = [mm] 0x_1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}x_2 [/mm] + [mm] 0x_3 [/mm] + [mm] 0x_4
[/mm]
(0,0,1,0) = [mm] 0x_1 [/mm] + [mm] 0x_2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}x_3 [/mm] + [mm] 0x_4
[/mm]
(0,0,0,1) = [mm] 0x_1 [/mm] + [mm] 0x_2 [/mm] + [mm] 0x_3 [/mm] + [mm] 1x_4
[/mm]
Wie sieht nun das lineare Gleichungssystem aus, das T als Loesungsmenge besitzt??
Im gesuchten LGS muessten [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] doch "wegfallen", oder?!
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Hallo,
dein Teilraum T, der von den Vektoren [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2
[/mm]
aufgespannt wird, entspricht (bezüglich der Standard-
basis !) genau der Menge
[mm] $\{(v_1,v_2,0,0)\ |\ (v_1,v_2)\in\IR^2\}$
[/mm]
Diese wird beschrieben durch das Gleichungssystem
[mm] $\begin{cases} v_3=0 \\ v_4=0 \end{cases}$
[/mm]
Möglicherweise ist dein Beispiel fast zu einfach, um
das deutlich zu machen, was du sehen willst.
LG
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Hallo,
danke fuer die Antwort, dann ist das Beispiel offenbar nicht ausreichend (schade).
Was ich suche, ist eine Basis eines nichttrivialen Teilraumes von [mm] \IR^4 [/mm] (oder auch [mm] \IR^3), [/mm] mit der der Weg zur Erstellung eines lin. Gleichungssystems anhand eines Beispiels genau gezeigt werden kann - dieser ist mir naemlich ueberhaupt noch nicht klar.
Weiss jemand Rat?
Danke!
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> Hallo,
>
> danke fuer die Antwort, dann ist das Beispiel offenbar
> nicht ausreichend (schade).
>
> Was ich suche, ist eine Basis eines nichttrivialen
> Teilraumes von [mm]\IR^4[/mm] (oder auch [mm]\IR^3),[/mm] mit der der Weg zur
> Erstellung eines lin. Gleichungssystems anhand eines
> Beispiels genau gezeigt werden kann - dieser ist mir
> naemlich ueberhaupt noch nicht klar.
Nimm einfach etwas andere Basisvektoren für T:
z.B. [mm] x_1=(1,2,0,-3) [/mm] und [mm] x_2=(2,0,-1,4)
[/mm]
Damit werden alle Koordinaten der Standardbasis
einbezogen. Das gibt zwar mehr zu rechnen, aber
damit hast du eine Chance, der Frage auf den Grund
zu kommen !
Gruß al-Chw.
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Hallo nochmal,
danke erstmal fuer den Tipp. Ich habe mich hingesetzt und gerechnet, komme aber noch nicht auf den "Knackpunkt".
Ich betrachte also die vorgeschlagene Basis [mm] X_T [/mm] von [mm] T\le\IR^4 [/mm] :
[mm] X_T [/mm] := ((1,2,0,-3), (2,0,-1,4))
und ergaenze sie mittels der Standardvektoren [mm] e_3, e_4 [/mm] zu einer Basis von [mm] \IR^4 [/mm] :
X := ((1,2,0,-3), (2,0,-1,4), (0,0,1,0), (0,0,0,1))
(das Aufstellen der Matrizen und Umformen der zu [mm] X_T [/mm] gehoerigen Matrix zur Bestimmung des Ergaenzungsraumes habe ich aus Tippgruenden weggelassen, aber [mm] e_3 [/mm] und [mm] e_4 [/mm] sind eine zulaessige Ergaenzung).
Fuer die Basistransformation von der Einheitsbasis von [mm] \IR^4 [/mm] nach X (wieder Matrizenrechnungen) erhalte ich folgende Koordinatenvektoren-Matrix (mehrfach nachgerechnet, stimmt so):
[mm] M(\sigma_X)^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} & -2\\ \bruch{1}{2} & -\bruch{1}{4} & -\bruch{1}{4} & \bruch{5}{2}\\ 0&0&1&0\\0&0&0&1} (\sigma_X [/mm] sei der Linearkombinationshomomorphismus zu X).
Also gilt:
(1,0,0,0) = [mm] \bruch{1}{2}x_2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}x_3 [/mm] - [mm] 2x_4
[/mm]
(0,1,0,0) = [mm] \bruch{1}{2}x_1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}x_2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}x3 [/mm] + [mm] \bruch{5}{2}x_4
[/mm]
(0,0,1,0) = [mm] 1x_3
[/mm]
(0,0,0,1) = [mm] 1x_4
[/mm]
(habe ich ebenfalls nochmals nachgerechnet, ist soweit korrekt).
Nun habe ich also die Standardvektoren [mm] e_1, \ldots, e_4 [/mm] abhaengig von den Vektoren der Basis X gemacht.
Was ich nun jedoch nicht verstehe: Wie kommt man nun auf das gesuchte lineare (homogene) Gleichungssystem, das T als Loesungsmenge besitzt??
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guten Tag !
ich habe dies etwas anders (elementar) gemacht:
T besteht aus allen Vektoren a der Form:
[mm] $a=s*\vektor{1\\2\\0\\-3}+t*\vektor{2\\0\\-1\\4}=\vektor{a_1\\a_2\\a_3\\a_4}$
[/mm]
$(1)\ \ [mm] s+2t=a_1$
[/mm]
$(2)\ \ [mm] 2s=a_2$
[/mm]
$(3)\ [mm] -t=a_3$
[/mm]
$(4)\ [mm] -3s+4t=a_4$
[/mm]
Parameter eliminieren:
$(2)\ [mm] \Rightarrow\ s=\bruch{1}{2}a_2$
[/mm]
$(3)\ [mm] \Rightarrow\ t=-a_3$
[/mm]
dies in (1) und (4) eingsetzen und etwas umformen
führt zu:
[mm] $\begin{cases} 2a_1-a_2+4a_3=0 \\ 3a_2+8a_3+2a_4=0 \end{cases}$
[/mm]
Dies ist das gewünschte Gleichungssystem
bzw. eines der möglichen.
Man kann es zum Beispiel umformen zu:
[mm] $\begin{cases} a_3=-\bruch{1}{2}a_1+\bruch{1}{4}a_2 \\ a_4=2a_1-\bruch{5}{2}a_2 \end{cases}$
[/mm]
Al-Chw.
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