T² + 1 irreduzibel < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Di 28.04.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | | Zeige [mm] $T^2 [/mm] + 1 [mm] \in \IR[T]$ [/mm] ist irreduzibel. |
Das $f [mm] \not= [/mm] 0$ gilt habe ich durch Induktion gezeigt:
Anfang
$T=0: [mm] 0^2 [/mm] + 1 [mm] \not= [/mm] 0$
Schritt
$T=T+1: [mm] (T+1)^2+1 \not= [/mm] 0$
Reicht das dafür soweit?
Mein Problem ist jetzt zu zeigen, dass es Polynome gibt, so dass $pf + qg = 1; f, g [mm] \in \IR[T]$
[/mm]
Wie macht man das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Di 28.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Induktion versteh ich nicht.
soweit ich sehe kannst du statt [mm] T^2+1 [/mm] da auch [mm] T^2-1 [/mm] hinschreiben, und an deiner Induktion aendert sich nichts.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Di 28.04.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Dann
[mm] $T^2 [/mm] + 1 [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \gdw T^2 \not= [/mm] -1$
was in [mm] \IR [/mm] auch so ist.
Geht mir viel mehr um die genannten Polynome. Das ist alles so einfach aber ich kriegs nicht in die Birne. Gabs bisher noch kein Beispiel mit Beweis zu leider. Dann würds gehen ;)
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Hallo.
Eine elementare Möglichkeit wäre, einen Koeffzientenvergleich vorzunehmen.
Angenommen es gebe, [mm] a,b\inIR [/mm] so dass gilt: [mm] T^2+1=(T+a)(T+b)
[/mm]
Aber [mm] (T+a)(T+b)=T^2+Tb+Ta+ab=T^2+(a+b)T+ab \Rightarrow [/mm] a+b=0 und ab=1.
wenn a+b=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=-b
Das heißt aber [mm] (-b)*b=-b^2=1 [/mm] => [mm] b^2=-1 [/mm] Das aber kann für [mm] b\in\IR [/mm] bekanntermaßen nicht gehen.
Grüße Elvis.
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> Zeige [mm]T^2 + 1 \in \IR[T][/mm] ist irreduzibel.
> Das [mm]f \not= 0[/mm] gilt habe ich durch Induktion gezeigt:
> Anfang
> [mm]T=0: 0^2 + 1 \not= 0[/mm]
> Schritt
> [mm]T=T+1: (T+1)^2+1 \not= 0[/mm]
> Reicht das dafür soweit?
>
> Mein Problem ist jetzt zu zeigen, dass es Polynome gibt, so
> dass [mm]pf + qg = 1; f, g \in \IR[T][/mm]
>
> Wie macht man das?
Hallo,
mir ist nicht recht klar, was Du da oben tust und wofür Du weshalb Induktion verwenden willst.
Du mußt doch zeigen, daß man [mm] T^2+1 [/mm] nicht als Produkt zweier nichtkonstanter Polynome schreiben kann.
Aus Gradgründen kämen ja nur solche vom Grad 1 infrage.
Angenommen, es wäre [mm] T^2+1=(T+a)(T+b). [/mm]
Was würde folgen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Di 28.04.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Ja die Induktion war quatsch. Habe es geändert zu
[mm] $T^2 [/mm] + 1 [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \gdw T^2 \not= [/mm] -1$ (innerhalb [mm] \IR)
[/mm]
Für [mm] $T^2 [/mm] + 1 = (T + a)(T + b)$ müsste -a = b und somit $a * b = a * -a [mm] \not= [/mm] 1$. Das ist es?
Einfach zeigen, dass man es nicht zerlegen kann?
(Hoffentlich)
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> Für [mm]T^2 + 1 = (T + a)(T + b)[/mm] müsste -a = b und somit [mm]a * b = a * -a \not= 1[/mm].
Hallo,
das [mm] \not=1 [/mm] würde ich nich begründen.
> Das ist es?
> Einfach zeigen, dass man es nicht zerlegen kann?
> (Hoffentlich)
Ich würde das jedenfalls so machen.
Du hast es ja mit Polynomen über einem Körper zu tun.
Gruß v. Angela
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