Talorpolynom < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 So 25.09.2005 | | Autor: | Fusioner |
Hallo.
Ich bereite mich auf eine Ana2 Klausur vor und hab Probleme mit einem Taylorpolynom.
Die Aufgabe lautet bestimme das Taylorpolynom um (1,1) einschließlich der Terme 2ten Grades von
[mm]g(x,y)=x\*exp(x-y)[/mm]
ich hab den Gradient und die Hessematrix gebildet und folgendermaßen eingesetzt.
[mm]f(x_{0}+H)=f(x_{0})+(exp(x-y) ;-x\*exp(x-y))+\bruch{1}{2} \*\pmat{ exp(x-y) & -exp(x-y) \\ -exp(x-y) & x\*exp(x-y) }[/mm]
ab hier weiß ich nicht ob das überhaupt richtig ist und wie ich um den Punkt (1,1) entwickeln soll. Setz ich jetzt einfach für x und y =1 ein?
Gruß und Dank Milan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hallo!
wollte heute mittag schon antworten, aber dann ging der server down, doh.
also nochmal: du hast dein g(x,y) gegeben. die taylorentwicklung um den punkt [mm] a_0=(x_0,y_0) [/mm] bis einschließlich zur 2. ableitung sieht dann folgendermaßen aus:
[mm] g(a_0+\varepsilon)=g(a_0)+<\nabla{g(a_0)},\varepsilon>+\bruch{1}{2}<\varepsilon,Hess_g(a_0)\varepsilon>
[/mm]
dabei ist [mm] \varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2) [/mm] und [mm] Hess_g(a_0) [/mm] die hessematrix von g an der stelle [mm] a_0.
[/mm]
das sollte die frage eigentlich beantworten...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 25.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr beiden!
Ich hoffe, es ist nicht schlimm, dass ich hier zu dieser Frage noch eine Frage stelle. In meinem Buch steht nämlich nur folgendes:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und da ich diese Schreibweise mit dem [mm] D^{\alpha} [/mm] sehr umständlich finde, sieht die Formel für mich sehr abschreckend aus und ich war schon ganz verzweifelt, dass ich das ganze mit dem Taylor jetzt nicht verstehe. Aber ihr habt da ja eine andere Formel - kennt ihr vielleicht eine Seite, wo es solch eine Definition gibt?
Und vielleicht auch noch ein paar Beispiele oder einfache Aufgaben mit Lösungen?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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hi!
also umständlich ist das mit den multiindices [mm] \alpha [/mm] nicht, ganz im gegenteil, vielleicht etwas kompliziert, aber im grunde ganz einfach ;)
ohne viel erklären zu müssen: das mit den multiindices findest du weiter vorne im buch, moment,..., auf s.55. meine formel folgt aus deiner, wenn du die summe auflöst und umformst für die multiindices mit [mm] |\alpha|=0,1,2. [/mm] auch das findest du im buch, diesmal auf seite,..., 58/59. vorausgesetzt du hast die passende auflage.
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Hallo,
also ich möchte vllt. zur Entwirrung mal ein Beispiel bringen. Das mit den Multiindizes versteht man anhand von Bsp. am ehesten.
Zu bestimmen ist das Taylorpolynom der Funktion [mm] f(x,y)=x^{y} [/mm] um den Punkt (1,1) bis einschließlich der Gleider dritter Ordnung.
Hilfreich ist hier [mm] f(x,y)=x^{y}=e^{y*lnx}.
[/mm]
1. [mm] \partial_{x}f=\bruch{yf}{x} [/mm] und [mm] \partial_{y}f=(lnx)f
[/mm]
2. [mm] \partial_{x,x}f=\bruch{(y^{2}-y)f}{x^{2}} [/mm] und [mm] \partial_{y,y}f=(lnx)^{2}f
[/mm]
[mm] \partial_{x,y}f=\partial_{y,x}f=\bruch{(y*lnx+1)f}{x} [/mm]
3. [mm] \partial_{x,x,x}f=\bruch{y(y^{2}-3y+2)f}{x^{3}} [/mm]
[mm] \partial_{x,x,y}f=\bruch{(2y-1+(y^{2}-y)lnx)f}{x^{2}} [/mm]
[mm] \partial_{y,y,x}f=\bruch{(2+y*lnx)lnx*f}{x} [/mm]
[mm] \partial_{y,y,y}f=(lnx)^{3}*f
[/mm]
Allgemein betrachten wir das Taylorpolynom
[mm] T_{3}=\summe_{|\alpha|\le3}^{}\bruch{(\partial^{\alpha}f)(1,1)(x-1,y-1)^{\alpha}}{\alpha!}
[/mm]
Und nun wird gerechnet. Nebenbei ist das eigentlich nur Rechnerei und eine Aufgabe zum Punktesammeln!!!
[mm] T_{3}=1+1(x-1)+0(y-1)+0(x-1)^{2}/2!+1(x-y)(y-1)/(1!1!)+1(x-1)(y-1)/(1!1!)+0(y-1)^{2}/2!+0(x-1)^{3}/3!+1(x-1=^{2}(y-1)/(2!1!)+0(x-1)(y-1)^{2}/(1!2!)+0(y-1)^{3}/3!
[/mm]
= [mm] \bruch{1+1(x-1)+(x-1)(y-1)}{2}
[/mm]
Wirklich nur Rechnerei...!! Hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet!!
Viel Spaß beim Nachvollziehen!! VG mathmetzsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 So 25.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Daniel!
Erstmal vielen Dank, dass du hier so eigentlich unaufgefordert ein Beispiel vorrechnest. Jetzt habe ich tatsächlich noch Hoffnung, dass ich das verstehen könnte. 
> Zu bestimmen ist das Taylorpolynom der Funktion
> [mm]f(x,y)=x^{y}[/mm] um den Punkt (1,1) bis einschließlich der
> Gleider dritter Ordnung.
>
> Hilfreich ist hier [mm]f(x,y)=x^{y}=e^{y*lnx}.[/mm]
>
> 1. [mm]\partial_{x}f=\bruch{yf}{x}[/mm] und [mm]\partial_{y}f=(lnx)f[/mm]
> 2. [mm]\partial_{x,x}f=\bruch{(y^{2}-y)f}{x^{2}}[/mm] und
> [mm]\partial_{y,y}f=(lnx)^{2}f[/mm]
> [mm]\partial_{x,y}f=\partial_{y,x}f=\bruch{(y*lnx+1)f}{x}[/mm]
> 3. [mm]\partial_{x,x,x}f=\bruch{y(y^{2}-3y+2)f}{x^{3}}[/mm]
> [mm]\partial_{x,x,y}f=\bruch{(2y-1+(y^{2}-y)lnx)f}{x^{2}}[/mm]
> [mm]\partial_{y,y,x}f=\bruch{(2+y*lnx)lnx*f}{x}[/mm]
> [mm]\partial_{y,y,y}f=(lnx)^{3}*f[/mm]
>
> Allgemein betrachten wir das Taylorpolynom
>
> [mm]T_{3}=\summe_{|\alpha|\le3}^{}\bruch{(\partial^{\alpha}f)(1,1)(x-1,y-1)^{\alpha}}{\alpha!}[/mm]
Ich frage mich immer noch, wo diese Formel herkommt. Denn in meinem Buch (Otto Forster, 5. Auflage) steht nur die Formel (jedenfalls unter dem Namen Taylorsche Formel), die ich vorhin eingescannt hatte. Und so direkt sehe ich da nicht, wo du diese Formel her hast.
> Und nun wird gerechnet. Nebenbei ist das eigentlich nur
> Rechnerei und eine Aufgabe zum Punktesammeln!!!
>
> [mm]T_{3}=1+1(x-1)+0(y-1)+0(x-1)^{2}/2!+1(x-y)(y-1)/(1!1!)+1(x-1)(y-1)/(1!1!)+0(y-1)^{2}/2!+0(x-1)^{3}/3!+1(x-1=^{2}(y-1)/(2!1!)+0(x-1)(y-1)^{2}/(1!2!)+0(y-1)^{3}/3![/mm]
> = [mm]\bruch{1+1(x-1)+(x-1)(y-1)}{2}[/mm]
Ich habe gerade mal versucht, das nachzuvollziehen. Da ich das evtl. noch nicht so ganz richtig verstehe (trotz der Erklärung der Multiindices in meinem Buch), wäre es vielleicht noch hilfreich zu wissen, in welcher Reihenfolge du die Terme addiert hast. Also, wenn ich den Anfang noch richtig verstehe, dann haben wir doch jetzt für [mm] |\alpha|\le [/mm] 3 vier Möglichkeiten, nämlich: (0,3),(3,0),(1,2),(2,1) oder? Vielleicht kannst du da mal sagen, was du zuerst berechnet hast, dann kann ich das besser vergleichen und gucken, ob ich es richtig verstehe. Ich habe nämlich zuerst (0,3) genommen, aber irgendwie erhalte ich da [mm] \bruch{(y-1)^3}{6} [/mm] und das finde ich bei dir nirgendwo.
Ach ja, und das eine Gleichheitszeichen da sollte wohl eine Klammer sein, oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ich bleibe mal, damit du nicht noch weiter verwirrt wirst, ganz nah bei der Forster-Notation.
Entwickelt man eine Funktion [mm] $f:\IR^2 \to \IR$ [/mm] im Punkt $(1,1)$, so erhält man:
$f((1,1) + [mm] (\xi_1,\xi_2))$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{0! \cdot 0!} \cdot [/mm] f(1,1) [mm] \cdot \xi_1^0 \cdot \xi_2^0 [/mm] + [mm] \frac{1}{1! \cdot 0!} \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(1,1) \cdot \xi_1^1 \cdot \xi_2^0 [/mm] + [mm] \frac{1}{0! \cdot 1!} \cdot \frac{\partial f}{\partial y}(1,1) \cdot \xi_1^0 \cdot \xi_2^1 [/mm] + [mm] \frac{1}{2! \cdot 0!} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,1) \cdot \xi_1^2 \cdot \xi_2^0 [/mm] + [mm] \frac{1}{0! \cdot 2!} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(1,1) \cdot \xi_1^0 \cdot \xi_2^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{1! \cdot 1!} \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y }(1,1) \cdot \xi_1^1 \cdot \xi_2^1 [/mm] + [mm] \frac{1}{3! \cdot 0!} \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}(1,1) \cdot \xi_1^3 \cdot \xi_2^0 [/mm] + [mm] \frac{1}{2! \cdot 1!} \frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y }(1,1) \cdot \xi_1^2 \cdot \xi_2^1 [/mm] + [mm] \frac{1}{1! \cdot 2!} \frac{\partial^3 f}{\partial x^1 \partial y^2 }(1,1) \cdot \xi_1 \cdot \xi_2^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{0! \cdot 3!} \frac{\partial^3 f}{ \partial y^3 }(1,1) \cdot \xi_1^0 \cdot \xi_2^3 [/mm] + [mm] \ldots$
[/mm]
$= f(1,1) + [mm] \frac{\partial f}{\partial x}(1,1) \cdot \xi_1 [/mm] + [mm] \frac{\partial f}{\partial y}(1,1) \cdot \xi_2 [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,1) \cdot \xi_1^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(1,1) \cdot \xi_2^2 [/mm] + [mm] \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y }(1,1) \cdot \xi_1 \cdot \xi_2+ \frac{1}{6} \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}(1,1) \cdot \xi_1^3 [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y }(1,1) \cdot \xi_1^2 \cdot \xi_2 [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2 }(1,1) \cdot \xi_1 \cdot \xi_2^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{6} \frac{\partial^3 f}{ \partial y^3 }(1,1) \cdot \xi_2^3 [/mm] + [mm] \ldots$
[/mm]
Hilft dir das weiter?
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Ich bleibe mal, damit du nicht noch weiter verwirrt wirst,
> ganz nah bei der Forster-Notation.
ok
> Entwickelt man eine Funktion [mm]f:\IR^2 \to \IR[/mm] im Punkt
> [mm](1,1)[/mm], so erhält man:
>
> [mm]f((1,1) + (\xi_1,\xi_2))[/mm]
>
> [mm]= \frac{1}{0! \cdot 0!} \cdot f(1,1) \cdot \xi_1^0 \cdot \xi_2^0 + \frac{1}{1! \cdot 0!} \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(1,1) \cdot \xi_1^1 \cdot \xi_2^0 + \frac{1}{0! \cdot 1!} \cdot \frac{\partial f}{\partial y}(1,1) \cdot \xi_1^0 \cdot \xi_2^1 + \frac{1}{2! \cdot 0!} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,1) \cdot \xi_1^2 \cdot \xi_2^0 + \frac{1}{0! \cdot 2!} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(1,1) \cdot \xi_1^0 \cdot \xi_2^2 + \frac{1}{1! \cdot 1!} \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y }(1,1) \cdot \xi_1^1 \cdot \xi_2^1 + \frac{1}{3! \cdot 0!} \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}(1,1) \cdot \xi_1^3 \cdot \xi_2^0 + \frac{1}{2! \cdot 1!} \frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y }(1,1) \cdot \xi_1^2 \cdot \xi_2^1 + \frac{1}{1! \cdot 2!} \frac{\partial^3 f}{\partial x^1 \partial y^2 }(1,1) \cdot \xi_1 \cdot \xi_2^2 + \frac{1}{0! \cdot 3!} \frac{\partial^3 f}{ \partial y^3 }(1,1) \cdot \xi_1^0 \cdot \xi_2^3 + \ldots[/mm]
>
> [mm]= f(1,1) + \frac{\partial f}{\partial x}(1,1) \cdot \xi_1 + \frac{\partial f}{\partial y}(1,1) \cdot \xi_2 + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,1) \cdot \xi_1^2 + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(1,1) \cdot \xi_2^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y }(1,1) \cdot \xi_1 \cdot \xi_2+ \frac{1}{6} \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}(1,1) \cdot \xi_1^3 + \frac{1}{2} \frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y }(1,1) \cdot \xi_1^2 \cdot \xi_2 + \frac{1}{2} \frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2 }(1,1) \cdot \xi_1 \cdot \xi_2^2 + \frac{1}{6} \frac{\partial^3 f}{ \partial y^3 }(1,1) \cdot \xi_2^3 + \ldots[/mm]
>
>
> Hilft dir das weiter?
Uff, der Quelltext sieht ja ganz schön schlimm aus... Ich habe die ersten Summanden jetzt mal berechnet und verglichen und ich frage mich, wo bei dir das [mm] \theta [/mm] geblieben ist. Aber ich nehme jetzt mal eine Aufgabe aus dem Forster, werde eine neue Frage aufmachen, und dort erstmal nur einzelne Schritte aufschreiben, die mir dann hoffentlich jemand korrigiert, sodass ich da heute noch weiter komme.
Viele Grüße und danke
Christiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Uff, der Quelltext sieht ja ganz schön schlimm aus... Ich
> habe die ersten Summanden jetzt mal berechnet und
> verglichen und ich frage mich, wo bei dir das [mm]\theta[/mm]
> geblieben ist.
Moment mal, das steckt doch nur in der Restglieddarstellung. Und ich habe doch nur das Taylorpolynom bis zur dritten Ordnung berechnet.
Kommst du denn jetzt mit meiner Darstellung zurecht oder nicht?
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:27 Mo 26.09.2005 | | Autor: | calabi-yau |
sorry aber irgendwie find ich das jetzt komisch dass du mein antwort völlig ignorierst. schau halt mal auf s.58/59, da wird das 2 seiten ganz genau durchgerechnet, für [mm] |\alpha|=3 [/mm] und höher geht das dann ganz analog.
> Ich frage mich immer noch, wo diese Formel herkommt. Denn
> in meinem Buch (Otto Forster, 5. Auflage) steht nur die
> Formel (jedenfalls unter dem Namen Taylorsche Formel), die
> ich vorhin eingescannt hatte. Und so direkt sehe ich da
> nicht, wo du diese Formel her hast.
verstehe ich auch nicht, das hat er doch alles ganz schön bewiesen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Sorry, ich hatte deine Antwort gelesen, aber sie hat mir nicht weitergeholfen. Ich hatte echt zuerst gedacht, du meinst ein anderes Buch als ich, weil ich die Sachen, die nur als Bemerkung oder Corollar da stehen nicht für so wichtig gehalten habe wie die Taylorformel selbst und sie somit fast überlesen habe. Ich weiß jetzt immer noch nicht genau, was man jetzt wofür nimmt, und die Erklärung mit den Multiindices hatte ich auch längst gelesen, aber wie gesagt finde ich das etwas durcheinander.
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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