Tangens von Innenwinkeln < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, daß für ein nicht-rechtwinkliges Dreieck mit den Innenwinkeln [mm] \alpha,\beta,\gamma [/mm]
gilt:
[mm] tan\alpha [/mm] + [mm] tan\beta [/mm] + [mm] tan\gamma \not= [/mm] 0 .
Hinweis: Innenwinkelsumme. |
Hallo,
bei der Aufgabe ist mir die Funktion des Tangens' in nicht-rechtwinkligen Dreiecken nicht ganz klar.
Okay, wir hatten schon die Formel für den Höhenschnittpunkt
[mm] h=\bruch{1}{\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma} \* (a\tan\alpha [/mm] + [mm] b\tan\beta [/mm] + [mm] c\tan\gamma)
[/mm]
(a,b,c sind die Ecken des Dreiecks).
Wenn die Tangenssume 0 wäre, ginge das nicht, da man nicht durch 0 teilen darf. Das wäre aber bisschen zu kurz und richtig gezeigt hat man damit ja auch nichts. Ich bin also für Anregungen offen.
Wie muss ich denn Vorgehen, um das zu zeigen ?
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Nun, der Hinweis ist goldrichtig. Es gilt ja: [mm]\alpha + \beta + \gamma = \pi[/mm]. Löse das nach [mm]\gamma[/mm] auf und setze es im vorgegebenen Term ein. Beachte, daß
i) der Tangens die Periode [mm]\pi[/mm] hat: [mm]\tan(t + \pi) = \tan t[/mm]
ii) der Tangens ungerade ist: [mm]\tan(-t) = -\tan(t)[/mm]
iii) der Tangens dem Additionstheorem [mm]\tan(s+t) = \frac{\tan s + \tan t}{1 - \tan s \cdot \tan t}[/mm] gehorcht
Du kommst schließlich auf
[mm]\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \frac{\left( \tan \alpha + \tan \beta \right) \cdot \tan \alpha \cdot \tan \beta}{\tan \alpha \cdot \tan \beta - 1}[/mm]
Und jetzt muß man sich nur noch die Produktdarstellung des Zählers genauer vornehmen.
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Danke erstmal für deine Antwort.
Du hast mir ja schon gegeben:
$ [mm] \tan \alpha [/mm] + [mm] \tan \beta [/mm] + [mm] \tan \gamma [/mm] = [mm] \frac{\left( \tan \alpha + \tan \beta \right) \cdot \tan \alpha \cdot \tan \beta}{\tan \alpha \cdot \tan \beta - 1} [/mm] $
Mit dem Additionstheorem für Tangens kann ich den Bruch aber vereinfachen und komme dann auf das Ergebnis
[mm] \tan \alpha [/mm] + [mm] \tan \beta [/mm] + [mm] \tan \gamma [/mm] = 0
[mm] \gdw \alpha+\beta [/mm] = [mm] x\*\pi \vee \beta= x\*\pi \vee \alpha [/mm] = [mm] x\*\pi [/mm] , [mm] x\in\IN
[/mm]
[mm] \pi [/mm] war ja in Bogenmaß, in Grad ist also
[mm] \alpha+\beta [/mm] = [mm] x\*\ [/mm] 180 [mm] \vee \beta= x\*\ [/mm] 180 [mm] \vee \alpha [/mm] = [mm] x\*\ [/mm] 180, [mm] x\in\IN
[/mm]
Widerspruch! [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] sind definitiv [mm] \not=180° [/mm] oder ein vielfaches davon, [mm] \alpha+\beta [/mm] ebenfalsl nicht. Das wär's dann.
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Hallo,
> [mm]\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \frac{\left( \tan \alpha + \tan \beta \right) \cdot \tan \alpha \cdot \tan \beta}{\tan \alpha \cdot \tan \beta - 1}[/mm]
>
> Mit dem Additionstheorem für Tangens kann ich den Bruch
> aber vereinfachen und komme dann auf das Ergebnis
>
> [mm]\tan \alpha[/mm] + [mm]\tan \beta[/mm] + [mm]\tan \gamma[/mm] = 0
> [mm]\gdw \alpha+\beta[/mm] = [mm]x\*\pi \vee \beta= x\*\pi \vee \alpha[/mm]
> = [mm]x\*\pi[/mm] , [mm]x\in\IN[/mm]
>
> [mm]\pi[/mm] war ja in Bogenmaß, in Grad ist also
> [mm]\alpha+\beta[/mm] = [mm]x\*\[/mm] 180 [mm]\vee \beta= x\*\[/mm] 180 [mm]\vee \alpha[/mm]
> = [mm]x\*\[/mm] 180, [mm]x\in\IN[/mm]
>
> Widerspruch! [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] sind definitiv [mm]\not=180°[/mm]
> oder ein vielfaches davon, [mm]\alpha+\beta[/mm] ebenfalsl nicht.
> Das wär's dann.
Genau!
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Sa 05.05.2012 | | Autor: | imagemixer |
danke!
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