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Tangente-Sehne: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:43 Mi 05.11.2008
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Welche Tangente an den Graphen der Funktion [mm] f(x)=e^{-x} [/mm] ist parallel zur Sehne durch die beiden Punkte P(-1/e) und [mm] Q(1/\bruch{1}{e}) [/mm] des Graphen von f?Berechnen Sie zunächst die Steigung der Sehne.

Hallo^^

Ich wüsste gern,ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe,wär lieb wenn jemadn drüber schaut.

Steigung der Sehne: [mm] \bruch{\bruch{1}{e}-e}{1--1}=\bruch{1-e^{2}}{e} [/mm]

[mm] f'(x)=-e^{-x} [/mm]

t(x)=mx+b

Ich hab jetzt 2 Steigungen,die von der Sehne und die,die die erste Ableitung angibt,aber ich glaube hier muss man die von der Sehne nehmen,also lautet die Gleichung [mm] t(x)=\bruch{1-e^{2}}{e}*x+b [/mm] ?

lg

        
Bezug
Tangente-Sehne: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:24 Mi 05.11.2008
Autor: leduart

Hallo
> Welche Tangente an den Graphen der Funktion [mm]f(x)=e^{-x}[/mm] ist
> parallel zur Sehne durch die beiden Punkte P(-1/e) und
> [mm]Q(1/\bruch{1}{e})[/mm] des Graphen von f?Berechnen Sie zunächst
> die Steigung der Sehne.
>  Hallo^^
>  
> Ich wüsste gern,ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe,wär
> lieb wenn jemadn drüber schaut.
>  
> Steigung der Sehne:
> [mm]\bruch{\bruch{1}{e}-e}{1--1}=\bruch{1-e^{2}}{e}[/mm]

Hier ist ein Fehler 1-(-1)=1+1=2 also ist die Steigung der Sehne: [mm] m_s=\bruch{1-e^{2}}{2e} [/mm]

> [mm]f'(x)=-e^{-x}[/mm]

jetzt kommt die eigentliche Rechnung: du suchst den Punkt (x1,y1) an dem [mm] f'(x1)=m_s [/mm] ist.
Wenn du den Punkt hast kannst du erst die Tangente ausrechnen.
Gruss leduart

>  
> t(x)=mx+b
>  
> Ich hab jetzt 2 Steigungen,die von der Sehne und die,die
> die erste Ableitung angibt,aber ich glaube hier muss man
> die von der Sehne nehmen,also lautet die Gleichung
> [mm]t(x)=\bruch{1-e^{2}}{e}*x+b[/mm] ?

siehe oben, du musst die 2 Steigungen gleich machen.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Tangente-Sehne: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Mi 05.11.2008
Autor: Mandy_90

  
> > Steigung der Sehne:
> > [mm]\bruch{\bruch{1}{e}-e}{1--1}=\bruch{1-e^{2}}{e}[/mm]
>  
> Hier ist ein Fehler 1-(-1)=1+1=2 also ist die Steigung der
> Sehne: [mm]m_s=\bruch{1-e^{2}}{2e}[/mm]
>  > [mm]f'(x)=-e^{-x}[/mm]

>  jetzt kommt die eigentliche Rechnung: du suchst den Punkt
> (x1,y1) an dem [mm]f'(x1)=m_s[/mm] ist.
>  Wenn du den Punkt hast kannst du erst die Tangente
> ausrechnen.

ok,also [mm] f'(x1)=m_s [/mm]
[mm] -e^{-x}=\bruch{1-e^{2}}{2e} [/mm]

x=-2.16...   ---> (-2.16/8.68)

Stimmt der Punkt denn so?

Dann nehme ich jetzt den Ansatz t(x)=mx+b und setze den Punkt und die Steigung ein.

[mm] 8.68=-e^{-8.68}*-2.16+b [/mm]

b=-10

t(x)=-8.68x-10  ???

lg

Bezug
                        
Bezug
Tangente-Sehne: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Mi 05.11.2008
Autor: leduart

Hallo
>

> ok,also [mm]f'(x1)=m_s[/mm]
>  [mm]-e^{-x}=\bruch{1-e^{2}}{2e}[/mm]
>  
> x=-2.16...   ---> (-2.16/8.68)

wie kommst du auf den Wert?
Meiner ist viel kleiner, rechne nochmal nach, oder schreib, wie du das ausgerechnet hast  

> Stimmt der Punkt denn so?

Nein setz das doch ein und ueberpruef, ob du  [mm] \bruch{1-e^{2}}{2e} [/mm] fuer [mm] -e^{-x} [/mm] rauskriegst.

> Dann nehme ich jetzt den Ansatz t(x)=mx+b und setze den
> Punkt und die Steigung ein.
>  
> [mm]8.68=-e^{-8.68}*-2.16+b[/mm]

hier hast du y statt x in die e fkt eingesetzt?  

> b=-10
>  
> t(x)=-8.68x-10  ???

alles nachrechnen, leider
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Tangente-Sehne: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:11 Mi 05.11.2008
Autor: Mandy_90


> Hallo
>  >
>  > ok,also [mm]f'(x1)=m_s[/mm]

>  >  [mm]-e^{-x}=\bruch{1-e^{2}}{2e}[/mm]
>  >  
> > x=-2.16...   ---> (-2.16/8.68)
>  wie kommst du auf den Wert?

da fragst du mich was,ich versteh grad selbst nicht mehr wie ich auf den Werte kam,ich habs nämlich nochmal gerechnet und komme auf x=-0,16.

>  Meiner ist viel kleiner, rechne nochmal nach, oder
> schreib, wie du das ausgerechnet hast  

hier mal mein Rechenweg:
[mm] -e^{-x}=\bruch{1-e^{2}}{2e} [/mm]     das ganze mit (-1) multiplizieren:
[mm] e^{-x}=-\bruch{1-e^{2}}{2e} [/mm]
-x=ln [mm] -\bruch{1-e^{2}}{2e} [/mm]
-x=ln1,175   nochmal mit -1 multiplizieren
x=-ln1,175
x=-0,161   P---> (-0.161/1,174)

Ich hoffe das stimmt jetzt so?

dann berechne ich die Gleichung der Tangente:

[mm] 1.174=-e^{--0.161}*-0.16+b [/mm]
[mm] b=\bruch{197}{200} [/mm]

[mm] t(x)=0.189x+\bruch{197}{200} [/mm]  ???

Bezug
                                        
Bezug
Tangente-Sehne: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Mi 05.11.2008
Autor: leduart

Hallo
soweit ichs sehe, ist jetzt alles richtig. warum du ein Gemisch aus Dezimalbruechen und Bruechen hast versteh ich nicht. ist aber auch nicht falsch.
Gruss leduart

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