Tangente < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Do 06.11.2014 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x) = 3cos(2x+1).
Bestimme die exakte Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = [mm] 0,5*\pi [/mm] |
Hallo zusammen,
wie man eine Tangentengleichung bestimmt ist klar.
y = f'(u) * (x-u) + f(u)
Setze nun u = [mm] 0,5*\pi [/mm] in die Gleichung ein.
Was mich an der Aufgabe stört, ist die Forderung nach der Exaktheit.
Für mich ergibt sich f'(x) = -6*sin(2x+1) und damit
[mm] f'(0,5*\pi) [/mm] = [mm] -6*sin(\pi [/mm] + 1).
Diesen Ausdruck kann man nicht vereinfachen.
Natürlich kann man in die Tangentengleichung als Steigung [mm] -6*sin(\pi [/mm] + 1) und f(0,5*pi) = [mm] 3*cos(\pi [/mm] + 1) einfach so einsetzen, dies halte ich aber für keine sinnvolle Aufgabenstellung für einen Schüler, der versucht, diese trigonometrischen Ausdrücke als Zahl zu vereinfachen.
Stimmt ihr mir zu, dass diese Aufgabe "optimierbar" (oder hart ausgedrückt schwachsinnig) ist ?
Danke für eure Antworten.
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Do 06.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Gegeben ist die Funktion f(x) = 3cos(2x+1).
> Bestimme die exakte Gleichung der Tangente an den Graphen
> von f an der Stelle x = [mm]0,5*\pi[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> wie man eine Tangentengleichung bestimmt ist klar.
> y = f'(u) * (x-u) + f(u)
> Setze nun u = [mm]0,5*\pi[/mm] in die Gleichung ein.
>
> Was mich an der Aufgabe stört, ist die Forderung nach der
> Exaktheit.
>
> Für mich ergibt sich f'(x) = -6*sin(2x+1) und damit
> [mm]f'(0,5*\pi)[/mm] = [mm]-6*sin(\pi[/mm] + 1).
>
> Diesen Ausdruck kann man nicht vereinfachen.
nein, man kann ihn zwar umschreiben, aber man gewinnt dadurch nicht
wirklich etwas. Von daher: er ist "exakt"!
> Natürlich kann man in die Tangentengleichung als Steigung
> [mm]-6*sin(\pi[/mm] + 1) und f(0,5*pi) = [mm]3*cos(\pi[/mm] + 1) einfach so
> einsetzen, dies halte ich aber für keine sinnvolle
> Aufgabenstellung für einen Schüler, der versucht, diese
> trigonometrischen Ausdrücke als Zahl zu vereinfachen.
Da steht ja eben, dass man exakt bleiben soll. Ich sehe da keine Frage
nach einer "Vereinfachung".
> Stimmt ihr mir zu, dass diese Aufgabe "optimierbar" (oder
> hart ausgedrückt schwachsinnig) ist ?
Sie ist eben alles andere als schwachsinnig. Du interpretierst das "exakt"
gar nicht als das, was es ist: Vereinfachungen sind NICHT gefragt! (Nur
dann, wenn sie weiterhin den Ausdruck "exakt" lassen.)
> Danke für eure Antworten.
Nebenbei: [mm] $\sin(\pi+1)$ [/mm] und [mm] $\cos(\pi+1)$ [/mm] kann man etwa mittels der Additionstheoreme
durchaus auch noch weiter umschreiben.
Die Lösung in der Form
[mm] $t(x)=-6*\sin(\pi+1)*(x-\pi/2)+3*\cos(\pi+1)$
[/mm]
ist meines Erachtens akzeptabel und auch das, was der Aufgabensteller
sehen will.
(Man kann ihn noch in "die übliche [mm] $y=ax+b\,$-Form" [/mm] bringen, wenn man will...)
Nebenbei: Ich finde die Aufgabe hier gerade *gut* formuliert, denn es ist
durchaus in meinen Augen eine Unsitte, dass Leute etwa [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] als 1,4142
auffassen. (Wenn das jemand macht, dann sollte er wenigstens in
etwa wissen, in welcher Größenordnung seine "Folgefehler" dann liegen
werden...).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Do 06.11.2014 | | Autor: | rubi |
Hallo Marcel,
vielen Dank für deine Antwort.
ich gebe dir insofern recht, dass die exakte Angabe einer Lösung den Schüler dazu zwingt, nicht irgendwelche gerundeten Kommazahlen aus dem Taschenrechner abzuschreiben, sondern dass er lernt, mit algebraischen Ausdrücken und Wurzeln umzugehen.
Insofern finde auch ich solche Aufgaben gut, und wenn die Steigung einer Tangente [mm] \wurzel{3} [/mm] ergibt, ist das alles auch ok.
Die exakte Angabe eines Ergebnisses bei trigonometrischen Funktionen kenne ich bei Aufgaben aus der Oberstufe bisher aber immer so, dass die Ausdrücke als konkrete Zahl angegeben werden konnten (wie z.B. [mm] cos(\pi) [/mm] ) und nicht abstrakt als Sinusfunktionswerte stehen geblieben sind.
Natürlich ist solch eine Aufgabenstellung erlaubt, ich halte sie aber nicht für besonders schülerfreundlich.
Ich würde mich z.B. sehr wundern, wenn eine Aufgabe mit solch einem Ergebnis als Abituraufgabe gestellt würde. Jemand, der sich nicht intensiv mit trigonometrischen Funktionen auseinandergesetzt hat, wird hierdurch verunsichert, weil er nicht weiß, wie er [mm] sin(\pi [/mm] + 1) weiter vereinfachen kann, aber davon ausgeht, dass dies möglich sein muss.
Das wäre ungefähr so, wie wenn ein Schüler die Gleichung sin(x) = 0,1 exakt lösen muss und ihm nur übrig bliebe, dies als x = sin^(-1) (0,1) hinzuschreiben. Das finde ich persönlich ziemlich unbefriedigend.
Viele Grüße
Rubi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Do 06.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
> ich gebe dir insofern recht, dass die exakte Angabe einer
> Lösung den Schüler dazu zwingt, nicht irgendwelche
> gerundeten Kommazahlen aus dem Taschenrechner
> abzuschreiben, sondern dass er lernt, mit algebraischen
> Ausdrücken und Wurzeln umzugehen.
> Insofern finde auch ich solche Aufgaben gut, und wenn die
> Steigung einer Tangente [mm]\wurzel{3}[/mm] ergibt, ist das alles
> auch ok.
>
> Die exakte Angabe eines Ergebnisses bei trigonometrischen
> Funktionen kenne ich bei Aufgaben aus der Oberstufe bisher
> aber immer so, dass die Ausdrücke als konkrete Zahl
> angegeben werden konnten (wie z.B. [mm]cos(\pi)[/mm] )
dann steht da aber sicher nicht, dass er die Lösung *exakt* angeben
soll. Abgesehen davon sind sowas wie [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] und [mm] $\sin(1)$ [/mm] auch konkrete Zahlen(werte).
> und nicht abstrakt als Sinusfunktionswerte stehen geblieben sind.
Mit dieser Formulierung könnte man das Problem natürlich beheben, also
mit einem Hinweis wie etwa: "Sinus-Ausdrücke dürfen stehen bleiben". Natürlich
kann man sich dann wieder ärgern, dass jemand sowas wie [mm] $\sin(\pi/3)$ [/mm] nicht
*exakter* angibt.
> Natürlich ist solch eine Aufgabenstellung erlaubt, ich
> halte sie aber nicht für besonders schülerfreundlich.
Ich schon. Ich halte eher Lehrer, die falsche Formulierungen in ihrem
Unterricht verwenden, für schülerunfreundlich - wenngleich ich da auch
nicht alle(s) über einen Kamm scheren will. Manchmal sind gewisse falsche
Formulierungen dennoch didaktisch geschickt.
Ein Problem wird es erst, wenn der Lehrer das, was er lehrt, selbst nicht
verstanden hat.
Bei der Aufgabe hier haben wir *eigentlich* tatsächlich das Problem, was nun
genau mit *exakt* gemeint ist. Für mich bedeutet das aber: Nur, wenn
sich ein Term *sinnvoll* umformen läßt (ja, was genau bedeutet das nun
wieder?), dann soll man das tun, und auf keinen Fall mit Näherungswerten
arbeiten. (Das heißt: [mm] $\sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2$ [/mm] ist erlaubt [aber auch nicht wirklich
notwendig], aber [mm] $\sin(\pi/3) \approx [/mm] 0,87$ will ich nicht sehen!)
> Ich würde mich z.B. sehr wundern, wenn eine Aufgabe mit
> solch einem Ergebnis als Abituraufgabe gestellt würde.
Ich nicht - das hängt einfach vom Lehrer ab. Meistens sagen die dann
aber: "Vereinfachen Sie *nur* so weit wie möglich..."
Das ist eigentlich schlampiger formuliert...
Warum manche Lehrer Symbole wie [mm] $\sqrt{\cdot}$ [/mm] etc. vermeiden wollen, erschließt
sich mir nicht. Mein Mathelehrer sah das übrigens genau so, wie ich es hier
sage, d.h., es gibt auch andere Ansichten von Mathelehrern...
> Jemand, der sich nicht intensiv mit trigonometrischen
> Funktionen auseinandergesetzt hat, wird hierdurch
> verunsichert, weil er nicht weiß, wie er [mm]sin(\pi[/mm] + 1)
> weiter vereinfachen kann, aber davon ausgeht, dass dies
> möglich sein muss.
>
> Das wäre ungefähr so, wie wenn ein Schüler die Gleichung
> sin(x) = 0,1 exakt lösen muss und ihm nur übrig bliebe,
> dies als x = sin^(-1) (0,1) hinzuschreiben. Das finde ich
> persönlich ziemlich unbefriedigend.
Ich nicht - und ich kenne es auch so, dass man da hinschreiben würde:
"Geben Sie alle Lösungen der Gleichung
[mm] $\sin(x)=0,1$
[/mm]
(exakt) an (das, was Du dahinschreibst, ist nämlich wesentlich zu wenig,
es sei denn, Du ergänzt Einschränkungen an [mm] $x\,$!), [/mm] und berechnen Sie die
Lösung im Intervall $I=...$ auf n Nachkommastellen!" (Natürlich wird n da konkret
benannt!)
Das war auch schon zu meiner Abiturzeit so, und die liegt gerade mal 14
Jahre zurück...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo rubi!
An bayerischen Gymnasien lernen die Schüler, dass, wenn in der Aufgabenstellung "exaktes Ergebnis" steht, dass sie bei den Ergebnissen Wurzeln, Ausdrücke mit Pi, etc. so stehen lassen sollen.
Als Lehrer würde ICH da Ergebnisse wie [mm]\sin(\pi +1)[/mm] vermeiden, weil sie die Schüler, wie du schon gesagt hast, verwirren können und sie versuchen könnten, das (auf falsche Art und Weise) zu vereinfachen.
Je nach Lehrer kann es Konventionen geben (die im Idealfall auf in der Aufgabenstellung vermerkt sind), dass etwa [mm]\sqrt 8[/mm] teilweise radiziert als [mm]2\sqrt 2[/mm] anzugeben ist.
Lieben Gruß,
Fulla
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