Tangente = Geschwindigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Offensichtlich ist ja die Tangente an einem bestimmten Punkt einer Funktion gerade die Geschwindigkeit. Doch irgendwie ist das ja alles andere als logisch...verwirrt micht sehr
Gruss Kuriger
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Hallo!
Du meinst die Steigung der Tangente, nicht die ganze Tangente. Und die ist gleich der Ableitung der Funktion an dem Berührpunkt.
Die Steigung der Tangente ist (allgemein) [mm] $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$, [/mm] also die Änderung [mm] $\Delta [/mm] y$ von y , wenn man in x-Richtung um [mm] $\Delta [/mm] x$ weiter geht.
Trägst du in ein Diagramm nun eine Wegstrecke s abhängig von der Zeit t auf (also s(t) statt y(x) ), wird aus der Steigung [mm] $m=\frac{\Delta s}{\Delta t}$ [/mm] , und das ist tatsächlich der Ausdruck für die momentane Geschwindigkeit.
Aber es ist nicht gut, jetzt grundsätzlich von "Geschwindigkeit" zu sprechen, denn damit verbindet man doch zu sehr die WEgänderung pro Zeitänderung, und du verzettelst dich dann garantiert irgendwann.
Hier mal ne Übungsaufgabe:
Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung wird beschrieben durch
[mm] s(t)=s_0+v_0t+\frac12at^2
[/mm]
Was bekommst du raus, wenn du das ableitest?
Und was, wenn du das nochmal ableitest?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Mi 20.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das sollte dich vewirren, denn es ist so falsch.
nur wenn die Kurve mit der realen zeit parametrisiert ist, dann ist die Ableitung der kurve nach der zeit, die Geschwindigkeit.
für eine ebene kurve etwa: die kann ich geben als :
[mm] y=-x^2 [/mm] oder als [mm] r(t)=\vektor{1m/s*t\\-1m/s^2*t^2} [/mm] oder als [mm] r(t)=\vektor{10m/s*t\\-100m/s^2*t^2} [/mm] alles 3 dieselben Kurven.
im ersten Fall bedeutet y(1)'=-2 an der Stelle (1.-1) keine Geschw.
im zweiten Fall ist dort die Geschwindigkeit x=1m, t=1s [mm] v=\vektor{1\\-1}m/s
[/mm]
im dritten Fall x=1 t=1/10 s [mm] v=\vektor{1,-20}m/s
[/mm]
Dir sollte schon immer klar gewesen sein, wenn ich x(t) angebe, dann ist [mm] x'(t)=v_x(t) [/mm] und zu y(t) ist [mm] y'(t)=v_y(t) [/mm] wenn noch z(t) dazukommt dann eben [mm] v_z=z'(t)
[/mm]
das ganze als Vektor zusammengefasst gibt dann [mm] \vec{r}=(x,y,z)^T: \vec{v}=(x',y',z')^T
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:38 Do 21.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Leduart
Ich möchte mal Bezug zu diesem Beispiel nehmen:
Ein Partikel ebwegt sich auf der Parabel y = [mm] x^2 [/mm] von links nach rechts mit der konstanten Schnelligkeit von 5 Einheiten pro Sekunde. berechnen Sie die geschwindigkeit im Punkt (2,4)
Wie würdest du denn sowas lösen?
Denn wenn ich die Tangentensteigung am Punkt (2,4) zur Parabel ausrechne, m = 4 oder [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 4}, [/mm] so ist doch dies einfach ein Richtungsvektor, jedoch müsste das ja irgendwie parametisiert werden, damit es eine Funktion von v(t) ist. Wie würdest du das denn machen?
Kann ich das jetzt nicht gerade mit der folgenden Formel parametisieren, ich weiss du hörst das Wort nicht gern....
v(t) = Schnelligkeit * Einheitsrichtungsvektor
Gruss Kuriger
gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
die Aufgabe ist doch unrealistisch. Warum sollte sich ein Partikel auf einer parabelförmigen Bahn mit konstanter Geschwindigkeit bewegen? Parabeln als Bahnen von Bewegungen kommen doch gerade dann vor, wenn in der einen Richtung (hier x) eine konstante Geschwindigkeit vorliegt, in der anderen Richtung (hier y) dagegen eine konstante Beschleunigung erfolgt, wie z.B. beim Wurf unter Einwirkung der Erdbeschleunigung.
In einem solchen Fall (wie in allen anderen realen) gilt leduarts Herleitung. Im von Dir nun vorgelegten Fall müsstest Du die Parametrisierung durch x(t), y(t) schon entsprechend vornehmen, damit die Ableitung nach dt die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors ergibt. Dann hättest Du auch Recht, den Tangentialvektor erst zu normieren und dann mit dem Betrag der gegebenen konstanten Geschwindigkeit zu multiplizieren.
Also: mathematisch möglich, aber als physikalisches Beispiel unrealistisch.
Grüße
reverend
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