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| Aufgabe | Für jedes t>0 ist eine Funktion f_(t) gegeben durch [mm] f_{t}= [/mm] e - [mm] e^{tx}; [/mm] das Schaubild sei [mm] K_{t}.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente und der Normalen von [mm] K_{t} [/mm] im Shcnittpunkt von K_(t) mit der y-Achse.
b) Zeichnen Sie mit dem GTR [mm] K_{1} [/mm] sowie die Tangente und Normale.
c) Die Tangente und die Normale im Schnittpunkt von [mm] K_{t} [/mm] mit der y-Achse schneiden aus der x-Achse eine Strecke aus. Für welches t wird diese Strecke extremal? Wie groß ist dieser Extremwert? |
Hallo MatheForum!
Bin gerade am Rechnen dieser Aufgabe und musste feststellen, dass ich bei der letzten Teilaufgabe ein Problem habe.
Die Tagenten- und Normalengleichung habe ich schon errechnet:
t: y= -tx+e-1
n: y= [mm] \bruch{1}{t}+e-1
[/mm]
Diese beiden schneiden jeweils die x-Achse. Diese Shcnittpunkte errechnet man ja, wenn man [mm] y_{t} [/mm] bzw. [mm] y_{n} [/mm] gleich null setzt.
Also:
[mm] y_{t}=0
[/mm]
...
x= [mm] -\bruch{1+e}{(t)}
[/mm]
Und damit:
[mm] N_{t} (-\bruch{1+e}{(t)}|0)
[/mm]
[mm] y_{n}=0
[/mm]
...
x= t-te
-> [mm] N_{n} [/mm] (t-te|0)
Die Strecke [mm] \overline{N_{t}N_{n}} [/mm] ist doch soviel wie [mm] -\bruch{1+e}{(t)}-(t-te), [/mm] oder?
Ich habe das in den GTR eingetippt. Nun sieht der Graph aber nicht so aus, als hätte er ein Maximum und Minimum, die ich dann entsprechend abgelesen (und damit die Aufgabe gelöst) hätte.
Hab ich also was falsch gemacht?
Irgendwo ein Denkfehler?
Würde mcih freuen, wenn jemand mir helfen könnte!
LG Eli
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Hallo Elisabeth,
verflixt, nun habe ich etwas überlesen und ganz viel Text umsonst geschrieben. *g*
Also deine Funktionen für Tangente und Normale sind richtig.
Ich nenne die Funktion für den Abstand mal d(t)= [mm] t-t{{\rm e}}+{\frac {1-{{\rm e}}}{t}}
[/mm]
Hierfür ist (wenn ich mich nicht vertan habe) [mm] d'(t)={\frac {-{t}^{2}{{\rm e}^{1}}+{t}^{2}+{{\rm e}}-1}{{t}^{2}}}
[/mm]
Das kannst du 0 setzen und nach t auflösen und müsstest t=-1 erhalten.
Somit wäre d(-1) der Maximalabstand.
Liebe Grüße
Stephan
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Korrektur:
Je nachdem, welche Funktion du von der anderen abziehst, um d(t) zu erhalten, bekommst du [mm] d(t)=\pm\frac{t^2(\mathrm{e}-1)+\mathrm{e}-1}{t} [/mm] heraus. Somit ist [mm] d'(t)=\pm\frac {{t}^{2}({\rm e}-1)-{{\rm e}}+1}{{t}^{2}} [/mm] und für $d'(t)=0$ ergibt sich [mm] t_{1/2}=\pm1
[/mm]
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Hallo Stephan,
vielen Dank für die Hilfe.
Ich glaube, ich habe den Fehler gefunden:
Ich habe [mm] \bruch{1-e}{-t} [/mm] falsch aufgelöst, und zwar zu [mm] -(\bruch{1+e}{t}) [/mm] statt zu [mm] \bruch{e-1}{t}!
[/mm]
Daher flasch in den GTR eingetippt usw.
Mit der richtigen Funktion habe ich jetzt die Extrempunkte ermittelt, die du auch genannt hast. Also
Min [mm] (-1|\sim [/mm] -3,44)
Max [mm] (1|\sim [/mm] 3,44)
Wäre das also die Lösung?
Für t=1 wird die Strecke maximal mit einer Länge von ca. 3,44?
bzw.
Für t=-1 wird die Strecke minimal mit einer Länge von ca. -3,44?
Noch eine (vermutlich sehr blöde Frage):
Ich könnte doch z.B. auch t=2 einsetzen o. ä., dann wäre die Strecke doch noch größer. Wieso ist sie aber trotzdem bei t=1 maximal??
LG Eli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 So 06.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hast du denn mal wirklich 2 eingesetzt und es wurde wirklich größer? deine darstellung von d(t9 müsste doch direkt zeigen, wie gross d beit t=2 ist?
2. eine Länge kann nicht negativ sein. da musst du nen Fehler gemacht haben.
Gruss leduart
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Hallo!
Danke für die Antwort.
Das Maximum liegt wie gesagt bei (-1|-3,44); das Minimum bei (1|3,44).
Heißt das also, dass ich das Maximum (da negativ) einfach nicht beachte?
In der Aufgabenstellung ist ja nach extremalen Strecke gefragt. Also wäre als Antwort möglich:
Bei t=1 wird die Strecke minimal, und zwar 3,44.
Bei 0<t<1 und t>1 wird sie Strecke jeweils größer; also würde das Ganze jetzt stimmen, oder?
LG Eli
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 So 06.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das mit dem max ist falsch, denn ein Abstand ist wirklich was positives.
Wenn t auch negativ werden könnte hast du wieder ein Min. für t=-1, aber die Aufgabe ist ja t>0
Der Rest ist richtig.
Gruss leuart
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