Tangente/Ursprungsgerade < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 So 03.12.2006 | | Autor: | Maggons |
| Aufgabe | Betrachtet wird die Funktion [mm] f(x)=e^{x}-x.
[/mm]
a) Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x=-1?
b) Welche Ursprungsgerade y(x)=m*x berührt den Graphen von f? |
Huhu
Ich kann mir nicht wirklich was unter einer "Ursprungsgeraden" vorstellen.
Ich denke, dass sie durch (0|0) gehen muss, weil ja keine additive Konstante +b an der Formel hängt.
Aber ich weiß leider nicht, wie ich die Bedingung, dass y(0)=0 und das Schneiden der Expfunktion in eins bringen kann, weil das ja eine Tangente sein müsste, die auch durch (0|0) laufen muss ...... ?
a) Habe ich ja schon weitgehend beantwortet, denke ich:
t(x)=f'(x0)*(x-x0)+f(x0)
t(x)=-0,6321x + 0,735779
aber bei b) hoffe ich auf den Rat von jemandem, wie ich das mit der Ursprungsgerade machen soll :/
Vielen Dank im Vorraus
Ciao
Marco
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
also bei a) bekomm ich raus
g(x) = -0.632x-1.865
also einfach nur ne andere Verschiebung, kann aber auch sein das ich mich irgendwo verrechnet habe.
zu b)
du hast doch folgendes gegeben:
y(x) = m*x
y'(x) = m
f(x) = [mm] e^{x}-x
[/mm]
f'(x)= [mm] e^{x}-1
[/mm]
Da f und y sich berühren sollen kannst du damit die zwei Gleichungen
y(x) = f(x) und
y'(x) = f'(x)
aufstellen und ausrechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 So 03.12.2006 | | Autor: | Maggons |
Ich weiß leider nicht, was ich mit den Ergebnissen anstellen soll.
Die Tangentengleichung von a) habe ich auch nochmals korrektur gerechnet und bin zu dem gleichen Ergebnis gekommen wie zuvor.
Wenn ich also nun
f(x)=y(x) rechne, kommt [mm] e^{x}-(m+1)*x
[/mm]
und bei
f'(x)=y'(x) kommt ln(m+1) raus.
Was soll ich denn nun machen um auf m zu kommen? Ich kann die ja nicht gleichsetzen und nach m auflösen :/
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Hallo Maggons,
> Ich weiß leider nicht, was ich mit den Ergebnissen
> anstellen soll.
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> Die Tangentengleichung von a) habe ich auch nochmals
> korrektur gerechnet und bin zu dem gleichen Ergebnis
> gekommen wie zuvor.
>
> Wenn ich also nun
>
> f(x)=y(x) rechne, kommt [mm]e^{x}-(m+1)*x[/mm]
>
> und bei
>
> f'(x)=y'(x) kommt ln(m+1) raus.
>
> Was soll ich denn nun machen um auf m zu kommen? Ich kann
> die ja nicht gleichsetzen und nach m auflösen :/
| Aufgabe | Betrachtet wird die Funktion $ [mm] f(x)=e^{x}-x. [/mm] $
a) Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x=-1?
b) Welche Ursprungsgerade y(x)=m*x berührt den Graphen von f? |
a) Nennen wir die Tangente mal t(x)=mx+n. Dann kennst du die Berührstelle x=-1.
Da die Tangente an der Stelle x=-1
1. denselben Funktionswert wie f hat: t(-1)=f(-1)
2. dieselbe Steigung wie f hat: t'(-1)=m=f'(-1)
kannst du so die Tangente bestimmen.
Tipp: rechne nicht mit gerundeten Werten, sondern mit e als Konstante, dann kann weniger den Überblick verlieren und schneller kontrollieren.
b) Jetzt kennst du den Berührpunkt [mm] (x_B|y_B) [/mm] noch nicht, sondern sollst ihn suchen:
also statt x=-1 gilt jetzt: [mm] x_B [/mm] ist zu bestimmen. [mm] y_B [/mm] ist dann [mm] =f(x_B) [/mm] .
Dafür weißt du aber, dass n=0 gelten muss, weil t(x) ja eine Ursprungsgerade ist.
Rechnung ähnlich wie bei a). Probiers mal!
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 So 03.12.2006 | | Autor: | Maggons |
Wenn ich ehrlich bin, kann ich dir leider auch nach längerem Überlegen nicht wirklich bei b) folgen :(.
Deine Erläuterungen zu a) kann ich nachvollzeiehen aber bei b) habe ich mir nun einfach den Ansatz überlegt, dass die Tangente ja durch den Tiefpunkt gehen musst, damit sie die Funktion f(x) nicht nochmal schneidet.
Somit habe ich einfach die Gerade (e-1)*x gewählt, sodass die Steigung nun auf e-1 fällt und die Tangente die Funktion nur bei (1|e-1) schneidet.
Hoffe, dass es nun so richtig ist.
Danke für deine Tipps und Ciao
Marco
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Hallo Maggons,
> Wenn ich ehrlich bin, kann ich dir leider auch nach
> längerem Überlegen nicht wirklich bei b) folgen :(.
>
> Deine Erläuterungen zu a) kann ich nachvollzeiehen aber bei
> b) habe ich mir nun einfach den Ansatz überlegt, dass die
> Tangente ja durch den Tiefpunkt gehen musst, damit sie die
> Funktion f(x) nicht nochmal schneidet.
nein, das ist nicht wirklich zielführend.
>
> Somit habe ich einfach die Gerade (e-1)*x gewählt, sodass
> die Steigung nun auf e-1 fällt und die Tangente die
> Funktion nur bei (1|e-1) schneidet.
>
$ [mm] f(x)=e^{x}-x. [/mm] $
[mm] t(x)=f'(x)(x-x_B)+f(x_B) [/mm] ist die Gleichung der Tangente an einen beliebigen Punkt B [mm] (x_B|y_B).
[/mm]
Diese Tangente soll eine Ursprungsgerade sein und du suchst den entsprechenden Berührpunkt:
[mm] t(x)=(e^{x_B}-1)(x-x_B)+e^{x_B}-x_B=(e^{x_B}-1)x-(e^{x_B}-1)x_B+e^{x_B}-x_B
[/mm]
[mm] t(x)=(e^{x_B}-1)x-e^{x_B}x_B+x_B+e^{x_B}-x_B
[/mm]
[mm] t(x)=(e^{x_B}-1)x\underbrace{-e^{x_B}x_B+e^{x_B}}_{\text{absolutes Glied}}
[/mm]
Damit diese Tangente durch den Ursprung geht, muss das absolute Glied =0 sein, und damit kannst du [mm] x_B [/mm] berechnen.
Jetzt machst du wieder weiter!
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Mo 04.12.2006 | | Autor: | Maggons |
OK wenn das absolute Glied =0 sein soll, kann man ja eigentlich nur x=1 einsetzen.
Wenn man dies macht, steht da nur noch:
[mm] -e^{1}*1+e^{1}, [/mm] was sich dann zu 0 wird, weil es sich gegenseitig aufhebt.
Wenn ich nun das erhaltene [mm] x_{b} [/mm] in
[mm] t(x)=(e^{x_{b}}-1)*x [/mm] einsetze, erhalte ich wieder meine Gleichung:
[mm] t_{u}(x)=(e-1)*x
[/mm]
, die ich ja zum Glück richtig "geraten" hatte ;)
Beim Durchrechnen deiner Angaben/ Rechnungen ist mir auch klar geworden, dass ich einfach das absolute Glied=0 setzen muss, weil die Tangente ja durch (0|0) laufen muss.
Vielen vielen Dank für deine Hilfe, hast mir damit echt super geholfen! :)
Ciao
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