Tangente am Kreis < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche Gleichungen haben die Tangenten durch A, die den Kreis K berühren? Wie groß ist der Schnittwinkel der Tangenten?
M(0/0), r=18, A(0/-6) |
Hallo,
also ich bin mir gerade nicht mehr sicher, wie man das macht :-( ich hab erst versucht die steigung auszurechnen, aber bin schon gescheitert...
Wo und wie muss ich da nochmal anfangen?
Viele Grüße
informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Sa 23.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
also die Gleichung der Tangente durch den Punkt A(0/-6) ist meiner Meinung nach nur eine einzige, denn in jedem Punkt des Kreises liegt eine andere Tangente. Also geht durch diesen Punkt nur eine einzige, deshalb kann ich mit dem Schnittwinkel auch nichts anfangen, da es ja keine zweite Tangente gibt. Die Gleichung der Tangente durch den Punkt A müsste lauten y=-6, da der Mittelpunkt des Kreises im Nullpunkt liegt und somit der Punkt A auf der y-Achse liegt und die Tangente durch den Punkt A laufen muss, kann die Tangente nur eine Parallele zur x-Achse sein, und somit hat sie keine Steigung sondern nur einen y-Achsenabschnitt.
Mehr fällt mir dazu im Moment auch nicht ein.
Gruß,
clwoe
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Hallo informacao!
> Welche Gleichungen haben die Tangenten durch A, die den
> Kreis K berühren? Wie groß ist der Schnittwinkel der
> Tangenten?
> M(0/0), r=18, A(0/-6)
> Hallo,
>
> also ich bin mir gerade nicht mehr sicher, wie man das
> macht :-( ich hab erst versucht die steigung auszurechnen,
> aber bin schon gescheitert...
>
> Wo und wie muss ich da nochmal anfangen?
>
> Viele Grüße
> informacao
Da der Kreis seinen Mittelpunkt im Ursprung und der Radius des Kreises 18 ist liegt der Punkt A(0/-6) innerhalb dieses Kreises. Eine Gerade, welche durch diesen Punkt A gehen soll muss den Kreis zwangsläufig in 2 Punkten schneiden. Mit 2 Schnittpunkten handelt es sich bei der Gerade jedoch nicht um Tangente sondern um eine Sekante. Demzufolge gibt es keine Lösung für deine Aufgabe.
Entweder is das ne lustige Fangfrage eines durchgeknallten Mathelehrers  oder du hast dich mit den Angaben bezüglich des Radius' oder des Punktes A ein wenig vertan. So wie die Aufgabe gestellt ist, gibt es jedoch keine logische Lösung.
Gruß,
Tommy
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> Hallo informacao!
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> > Welche Gleichungen haben die Tangenten durch A, die den
> > Kreis K berühren? Wie groß ist der Schnittwinkel der
> > Tangenten?
> > M(0/0), r=18, A(0/-6)
> > Hallo,
> >
> > also ich bin mir gerade nicht mehr sicher, wie man das
> > macht :-( ich hab erst versucht die steigung auszurechnen,
> > aber bin schon gescheitert...
> >
> > Wo und wie muss ich da nochmal anfangen?
> >
> > Viele Grüße
> > informacao
>
> Da der Kreis seinen Mittelpunkt im Ursprung und der Radius
> des Kreises 18 ist liegt der Punkt A(0/-6) innerhalb dieses
> Kreises. Eine Gerade, welche durch diesen Punkt A gehen
> soll muss den Kreis zwangsläufig in 2 Punkten schneiden.
> Mit 2 Schnittpunkten handelt es sich bei der Gerade jedoch
> nicht um Tangente sondern um eine Sekante. Demzufolge gibt
> es keine Lösung für deine Aufgabe.
>
> Entweder is das ne lustige Fangfrage eines durchgeknallten
> Mathelehrers oder du hast dich mit den Angaben
> bezüglich des Radius' oder des Punktes A ein wenig vertan.
> So wie die Aufgabe gestellt ist, gibt es jedoch keine
> logische Lösung.
>
> Gruß,
> Tommy
Hi, ich denke es war der Mathelehrer...denn du hast REcht, meine Angaben stimmen auch soweit...
Diese Aufgabe hat noch 3 weitere Teilaufgaben mit anderen Koordinaten:
1. M(0/0), [mm] r=\wurzel{34}, [/mm] A(8/2)
2. M(2/-3), [mm] r=\wurzel{10}, [/mm] A(-3/2)
3. M(3/-2), r=5, A(8/3)
Also bei der 1. geht das nicht, denn nach Aufzeichnen bin ich dazu gekommen, dass A auch im Kreis liegen müsste, oder?
Ich glaube, auch bei 2 geht es nicht....
und bei 3 müsste es gehen...stimmt das?
also stimmt nur eine der Teilaufgaben??
viele grüße
informacao
aber wie mach ich das denn jetzt? muss ich das jetzt einsetzen? um auf die tangentengleichung zu kommen?
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Hallo,
> > Hallo informacao!
> >
> > > Welche Gleichungen haben die Tangenten durch A, die den
> > > Kreis K berühren? Wie groß ist der Schnittwinkel der
> > > Tangenten?
> > > M(0/0), r=18, A(0/-6)
> > > Hallo,
> > >
> > > also ich bin mir gerade nicht mehr sicher, wie man das
> > > macht :-( ich hab erst versucht die steigung auszurechnen,
> > > aber bin schon gescheitert...
> > >
[Dateianhang nicht öffentlich]
so ungefähr stell' ich mir meinen Vorschlag vor...
Was habt Ihr denn gerade so in der Schule durchgenommen?
Was kann als Vorwissen gelten, selbst wenn du es nicht anwenden kannst?
Nur dann können wir dir weitere Tipps geben.
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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[mm] \mbox{Hallo zusammen,}
[/mm]
[mm] \mbox{Also: Die erste Aufgabe ist natürlich quatsch (mögliche logische Erklärung:}$ r^2=18$\mbox{, nicht}$r=18$\mbox{, dann ginge es!)}.
[/mm]
[mm] \mbox{Aber die anderen drei Aufgaben, 1., 2. und 3., sind alle möglich!}
[/mm]
[mm] \mbox{1.} [/mm] $M(0|0)$ [mm] \mbox{und}$r=\wurzel{34}$ \mbox{und}$A(8|2)$
[/mm]
[mm] \mbox{Die Gleichung einer Tangente lautet:}$y=mx+n$
[/mm]
$A [mm] \in G_{y}$
[/mm]
$2=8m+n [mm] \gdw [/mm] n=2-8m [mm] \gdw [/mm] y=mx+2-8m$
[mm] \mbox{Gleichung des Kreises lautet:}$x^2+y^2=34$
[/mm]
[mm] \mbox{Jetzt die Gleichung der Tangente einsetzen:}
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x^2+(mx+2-8m)^2=34$
[/mm]
[mm] \gdw x^2+(mx+2-8m)(mx+2-8m)=34
[/mm]
[mm] \gdw x^2+m^2x^2+2mx-8m^2x+2mx+4-16m-8m^2x-16m+64m^2=34
[/mm]
[mm] \gdw x^2+m^2x^2+4mx-16m^2x+64m^2-32m+4-34=0
[/mm]
[mm] \mbox{Nun auf geeignete Form für die p-q-Formel bringen:}
[/mm]
[mm] (1+m^2)x^2+(4m-16m^2)x+64m^2-32m-30=0
[/mm]
[mm] \gdw x^2+\bruch{(4m-16m^2)}{(1+m^2)}x+\bruch{64m^2-32m-30}{(1+m^2)}=0
[/mm]
[mm] x_{1;2}=-\bruch{(2m-8m^2)}{(1+m^2)}\pm\wurzel{\bruch{(2m-8m^2)^2}{(1+m^2)^2}-\bruch{64m^2-32m-30}{(1+m^2)}}
[/mm]
[mm] \mbox{Es wird eine Tangente, wenn du das, was unter der Wurzel steht, gleich 0 setzt:}
[/mm]
[mm] \bruch{(2m-8m^2)^2}{(1+m^2)^2}-\bruch{64m^2-32m-30}{(1+m^2)}=0
[/mm]
[mm] \gdw (2m-8m^2)^2-(64m^2-32m-30)(1+m^2)=0
[/mm]
[mm] \gdw (2m-8m^2)^2-(64m^2-32m-30+64m^4-32m^3-30m^2)=0
[/mm]
[mm] \gdw (2m-8m^2)^2-64m^2+32m+30-64m^4+32m^3+30m^2=0
[/mm]
[mm] \gdw 4m^2-32m^3+64m^4-64m^2+32m+30-64m^4+32m^3+30m^2=0
[/mm]
[mm] \gdw -30m^2+32m+30=0
[/mm]
[mm] \gdw m^2-\bruch{16}{15}m-1=0
[/mm]
[mm] m_{1;2}=-\bruch{16}{30}\pm\wurzel{\bruch{256}{900}+\bruch{900}{900}}
[/mm]
[mm] m_{1;2}=-\bruch{16}{30}\pm\bruch{34}{30}
[/mm]
[mm] m_{1}=-\bruch{16}{30}+\bruch{34}{30}=\bruch{3}{5} \vee m_{2}=-\bruch{16}{30}-\bruch{34}{30}=-1\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow t_{1}(x)=\bruch{3}{5}x+n \mbox{ und } t_{2}(x)=-1\bruch{2}{3}x+n
[/mm]
$ A [mm] \in G_{t_{1}} \Rightarrow t_{1}(x)=\bruch{3}{5}x-2\bruch{4}{5} [/mm] $
$ A [mm] \in G_{t_{2}} \Rightarrow t_{2}(x)=-1\bruch{2}{3}x+15\bruch{1}{3} [/mm] $
[mm] \mbox{Der Schnittwinkel ergibt sich dann folgendermaßen:}
[/mm]
[mm] arctan(m_{1}=\bruch{3}{5})\approx30,96°=\phi_{1}
[/mm]
[mm] arctan(m_{2}=-1\bruch{2}{3})\approx120,96°=\phi_{2}
[/mm]
[mm] \mbox{Der Schnittwinkel ergibt sich, wenn du den größeren Steigungswinkel vom Kleineren abziehst:}
[/mm]
[mm] \Psi=\phi_{2}-\phi_{1}=90°
[/mm]
[mm] \mbox{Das sie senkrecht zueinander stehen, hättest du auch schon an den Steigungen der beiden Tangenten
erkennen können (siehe Orthogonalitätskriterien).}
[/mm]
[mm] \mbox{Viele Grüße,}
[/mm]
[mm] \mbox{Stefan.}
[/mm]
[mm] \mbox{PS: Das Ganze verläuft dann natürlich analog für die anderen Aufgaben.} [/mm]
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Hallo Informacao,
> Welche Gleichungen haben die Tangenten durch A, die den
> Kreis K berühren? Wie groß ist der Schnittwinkel der
> Tangenten?
> M(0/0), r=18, A(0/-6)
> Hallo,
>
> also ich bin mir gerade nicht mehr sicher, wie man das
> macht :-( ich hab erst versucht die steigung auszurechnen,
> aber bin schon gescheitert...
>
> Wo und wie muss ich da nochmal anfangen?
Vielleicht stimmt die Formulierung doch nicht so ganz?
Könnte auch eine Sekante durch A gemeint sein - und die Tangenten durch die Endpunkte der Sekante?
Vielleicht eine Sekante durch A parallel zur x-Achse?!
Dann würde der Schnittwinkel eher Sinn ergeben.
Gruß informix
und nicht gleich auf die ... Lehrer schimpfen
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