Tangente an Ellipse < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | In welchen Punkten der Ellipse ell ist die Tangente parallel zur Geraden g?
ell: [mm] 3x^2+2y^2=30\qquad [/mm] g:x+y=1 |
| Aufgabe 2 | Von einer Ellipse in 1. Hauptlage sind die Gleichung einer Tangente t sowie die Berührungspunkte gegeben.Ermittle die Gleichung der Ellipse.
t:x+4y=18 [mm] \qquad [/mm] P(2/4) |
Hallo!
Ich habe eine Frage:Muss ich diese Aufgaben mithilfe der Differenzialrechnung lösen, oder gibt es auch noch andere Möglichkeiten?Wenn ja, könnte mir die Vorgehensweise bitte jemand kurz erklären?
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Mo 10.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse.
Dort findest Du die Gleichung der Tangente in einem Punkt der Ellipse
FRED
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Hallo nochmal!
Danke Fred für den Tipp, ich kenne die Tangentengleichung, aber lassen sich die Aufgaben alain mit dieser lösen?Ich verstehe nicht, wie ich herausfinden soll, welche Tangente parallel zur Geraden ist.Könnte mir da bitte jemand eine Anleitung geben?Auch bei der 2. Aufgabe sind mir die Infos zu knapp ich kenne weder a noch b.
Vielen Dank
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Do 13.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
loese die Tangentengl. nachdem du a und b eingesetzt hast nach y=mx+b auf
dann b und m aus der Tangentengl. mit b und m aus der gegebenen geraden gleichsetzen.
Ergebnis: 2 Gleichungen fuer die 2 Unbekannten
Es gibt uebrigens immer 2 moegliche Punkte!
Gruss leduart
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Danke Leduart!
Du hat mir sehr geholfen, dennoch steckt hier irgendwo noch ein Fehler:
[mm] t:3xp_1+2yp_2=30\qquad y=\frac{30}{2p_2}-\frac{3xp_1}{2p_2}
[/mm]
1. [mm] 1=\frac{3p_1}{2p_2}
[/mm]
2. [mm] 1=\frac{30}{2p_2}
[/mm]
P(10/15)
Was mache ich falsch?Hättest du ach zur 2. Aufgabe einen Vorschlag?
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Do 13.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ganze geht auch ohne die Tangentegleichung der Ellipse
Du hast ja die Gerade x+y=1 [mm] \gdw [/mm] y=-x+1
Diese hat die Steigung m=-1
Parallen dazu haben dieselbe Steigung m=-1 aber ein anderes b, also sind Parallelen zu g Geraden der Form p(x)=-x+b=b-x
Jetzt berechne mal die Schnittpunkte der Parallelen und der Ellipse.
Also setze mal die Parallelen in die Ellipse ein.
3x²+2(b-x)²=30
[mm] \gdw [/mm] 3x²+2(b²-2bx+x²)=30
[mm] \gdw [/mm] 5x²-4bx+2b²-30=0
[mm] \gdw x²-\underbrace{\bruch{4b}{5}}_{p}x+\underbrace{\bruch{2b²-30}{5}}_{q}=0
[/mm]
Jetzt bestimme das b mal so, dass diese Gleichung nur einen Schnittpunkt hat, also [mm] x_{1,2}=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\bruch{p²}{4}-q}
[/mm]
Jetzt soll [mm] x_{1}=x_{2} [/mm] sein, das geht nur, wenn der Wurzeltern=0ß ist, also:
[mm] \bruch{16b²}{25}-\bruch{2b²-30}{5}=0
[/mm]
Daraus kannst du jetzt das die beiden b's bestimmen, dass die Parallelen zu g Tangenten an der Ellipse werden.
zu b.
Du weiss, dass P(2/4) auf der Ellipse [mm] \bruch{x²}{a}+\bruch{y²}{b}=1 [/mm] liegt, und dass diese Ellipse an diesem die Steigung [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] hat.
(Parallel zu r gegebenen Gerade).
[mm] \bruch{x²}{a}+\bruch{y²}{b}=1
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{y²}{b}=1-\bruch{x²}{a}
[/mm]
[mm] \gdw y=b*\wurzel{1-\bruch{x²}{a}}
[/mm]
Also [mm] y'=b*\bruch{1}{2\wurzel{1-\bruch{x²}{a}}}*(-\bruch{2x}{a})
[/mm]
[mm] =\bruch{-bx}{2a\wurzel{1-\bruch{x²}{a}}}
[/mm]
Jetzt kannst du den Punkt einsetzen, also:
[mm] -\bruch{1}{4}=\bruch{-b*2}{2a\wurzel{1-\bruch{2²}{a}}}
[/mm]
Das ist eine der beiden Gleichungen, um a und b zu bestimmen, die Zweite ergibt sich durch den Punkt P in der Ellipse, also:
[mm] \bruch{2²}{a}+\bruch{4²}{b}=1
[/mm]
Marius
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