Tangente an Exp-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Mo 05.03.2007 | | Autor: | matter |
| Aufgabe | f(x) = (x+3) [mm] e^{-0,5x}
[/mm]
Bestimme die Gleichungen und Berührungspunkte der Tangenten an f(x), die durch P (5|0) verlaufen. |
Leider fehlt mir irgendwie die zündende Idee.
Ich habe zunächst die 1. Ableitung gebildet:
f'(x) = (-0,5x-0,5) [mm] e^{-0,5x}
[/mm]
Über t: y=mx+n habe ich zwar eine Gleichung in die ich den Punkt einsetzen kann, aber wie soll ich den Anstieg bekommen ? Ich weiß doch nicht welches die Berührungsstelle mit dem Graphen ist ?!
mfg matter
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Mo 05.03.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> f(x) = (x+3) [mm]e^{-0,5x}[/mm]
>
> Bestimme die Gleichungen und Berührungspunkte der Tangenten
> an f(x), die durch P (5|0) verlaufen.
> Leider fehlt mir irgendwie die zündende Idee.
>
> Ich habe zunächst die 1. Ableitung gebildet:
>
> f'(x) = (-0,5x-0,5) [mm]e^{-0,5x}[/mm]
>
> Über t: y=mx+n habe ich zwar eine Gleichung in die ich den
> Punkt einsetzen kann, aber wie soll ich den Anstieg
> bekommen ? Ich weiß doch nicht welches die Berührungsstelle
> mit dem Graphen ist ?!
Aber der x-Wert des Berührpunktes ist genau dein Parameter a, den es zu bestimmen gilt. Du kennst (sozusagen) an der Stelle noch den Funktionswert und die Steigung und kannst damit die Tangentengleichung in Abhängigkeit von a bestimmen und hinschreiben. Das gibt eine Geradengleichung, in der a auftaucht. Dann brauchst du a nur noch so zu bestimmen, daß diese Gerade durch P(5|0) geht. Fertich!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Mo 05.03.2007 | | Autor: | matter |
Aber ich habe doch dann mit dem absoluten Glied immer noch eine Unbekannte, also mit a dann 2 Unbekannte:
0 = [(-0,5a-0,5) [mm] e^{-0,5a}] [/mm] 5 + n
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Mo 05.03.2007 | | Autor: | statler |
Aber das Ding geht auch durch (a|f(a)), das hast du noch nicht ausgenutzt.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mo 05.03.2007 | | Autor: | matter |
Heißt das, dass die Tangentengleichung so aussieht:
f(a) = [mm] (-0,5a-0,5e^{-0,5a}) [/mm] a + [mm] 15e^{-2,5} [/mm] ?
Muss ich jetzt hier nochmal 5|0 einsetzen um auf a selbst zu kommen ?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Mo 05.03.2007 | | Autor: | statler |
Hey!
> Heißt das, dass die Tangentengleichung so aussieht:
>
> f(a) = [mm](-0,5a-0,5e^{-0,5a})[/mm] a + [mm]15e^{-2,5}[/mm] ?
>
> Muss ich jetzt hier nochmal 5|0 einsetzen um auf a selbst
> zu kommen ?
Links steht f(a), also [mm] (a+3)e^{-0,5a}, [/mm] das gibt dann wohl eine quadratische Gl. für a.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mo 05.03.2007 | | Autor: | matter |
Sorry, dass ich mich so blöd anstelle aber ich hab jetzt versucht die zu lösen nur gelingt es mir nicht :-/
So weit hab ichs umgeformt:
0 = [mm] x^2 [/mm] + 3·x·e^(- x/2) + 6·e^(- x/2) + 30·e^(-2, 5)
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Hallo matter!
Du musst zunächst den Berührpunkt (bzw. hier gibt es 2 Kandidaten) $B \ [mm] \left( \ a \ | \ f(a) \ \right)$ [/mm] bestimmen.
Dafür verwenden wir die Punkt-Steigungs-Form von Geraden und setzen ein:
$m \ = \ [mm] \bruch{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
[/mm]
Es gilt: $m \ = \ f'(a) \ = \ [mm] -0.5*(a+1)*e^{-0.5*a}$
[/mm]
[mm] $x_2 [/mm] \ = \ a$
[mm] $y_2 [/mm] \ = \ f(a) \ = \ [mm] (a+3)*e^{-0.5*a}$
[/mm]
[mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] x_P [/mm] \ = \ 5$
[mm] $y_1 [/mm] \ = \ [mm] y_P [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\Rightarrow$ $-0.5*(a+1)*e^{-0.5*a} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(a+3)*e^{-0.5*a}-0}{a-5}$
[/mm]
Daraus nun zunächst $a_$ ermitteln und dann wiederum in die Tangentengleichung (Punkt-Steigungs-Form) einsetzen:
[mm] $m_t [/mm] \ = \ f'(a) \ = \ [mm] \bruch{y-f(a)}{x-a}$ $\gdw$ $y_t [/mm] \ = \ f'(a)*(x-a)+f(a)$
Gruß vom
Roadrunner
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