Tangente an Kreis < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ermittle die Gleichung der Tangenten an den Kreis k, die 1) parallel, 2) normal zur Geraden g sind.
a) k: [mm] (x-2)^2+(y-1)^2=5; [/mm] g: 2x+y=5 |
Meine Überlegungen:
zunächst g umstellen:
=> y=-2x+5
Wenn die Gerade parallel ist ist die Steigung k gleich.
Folglich wäre y=-2x parallel. Dies ist nun aber bloß überlegt und nicht berechnet. Wie kann ich mir die parallele Tangente berechnen?
und wie berechne ich mir die "normale", also die Tangente, welche im rechten Winkel steht?
Ich weiß, dass die Steigung der "normalen" Tangente 0,5x sein müsste, doch wie berechne ich mir beides?
Ich weiße leider nicht wie ich mir das berechne.
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo MathematikLosser,
> Ermittle die Gleichung der Tangenten an den Kreis k, die 1)
> parallel, 2) normal zur Geraden g sind.
> a) k: [mm](x-2)^2+(y-1)^2=5;[/mm] g: 2x+y=5
> Meine Überlegungen:
> zunächst g umstellen:
> => y=-2x+5
> Wenn die Gerade parallel ist ist die Steigung k gleich.
> Folglich wäre y=-2x parallel. Dies ist nun aber bloß
> überlegt und nicht berechnet. Wie kann ich mir die
> parallele Tangente berechnen?
Du weisst die Steigung der Tangente,
jedoch nicht ihren y-Achsenabschnitt.
Daher setze an mit :y=-2*x+b und schneide diese
Gerade mit dem Kreis,. dabei ist b so zu wählen,
daß diese Gerade mit dem Kreis nur einen Schnittpunkt hat.
> und wie berechne ich mir die "normale", also die Tangente,
> welche im rechten Winkel steht?
> Ich weiß, dass die Steigung der "normalen" Tangente 0,5x
> sein müsste, doch wie berechne ich mir beides?
Setze an mit: y=0.5*x+d
Dann gehst Du vor wie oben beschrieben.
> Ich weiße leider nicht wie ich mir das berechne.
> Vielen Dank im Voraus!
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Ermittle die Gleichung der Tangenten an den Kreis k, die 1) parallel, 2) normal zur Geraden g sind.
a) k: $ [mm] (x-2)^2+(y-1)^2=5; [/mm] $ g: 2x+y=5 |
> Hallo MathematikLosser,
>
> > Ermittle die Gleichung der Tangenten an den Kreis k, die 1)
> > parallel, 2) normal zur Geraden g sind.
> > a) k: [mm](x-2)^2+(y-1)^2=5;[/mm] g: 2x+y=5
> > Meine Überlegungen:
> > zunächst g umstellen:
> > => y=-2x+5
> > Wenn die Gerade parallel ist ist die Steigung k
> gleich.
> > Folglich wäre y=-2x parallel. Dies ist nun aber bloß
> > überlegt und nicht berechnet. Wie kann ich mir die
> > parallele Tangente berechnen?
>
> Du weisst die Steigung der Tangente,
> jedoch nicht ihren y-Achsenabschnitt.
>
> Daher setze an mit :y=-2*x+b und schneide diese
> Gerade mit dem Kreis,. dabei ist b so zu wählen,
> daß diese Gerade mit dem Kreis nur einen Schnittpunkt
> hat.
>
>
> > und wie berechne ich mir die "normale", also die Tangente,
> > welche im rechten Winkel steht?
> > Ich weiß, dass die Steigung der "normalen" Tangente
> 0,5x
> > sein müsste, doch wie berechne ich mir beides?
>
>
> Setze an mit: y=0.5*x+d
>
> Dann gehst Du vor wie oben beschrieben.
>
>
> > Ich weiße leider nicht wie ich mir das berechne.
> > Vielen Dank im Voraus!
>
>
> Gruss
> MathePower
Das heißt, ich soll jetzt die Gleichung y=-2x+b in die Kreisgleichung einsetzen?
=> [mm] (x-2)^2+(-2x+b-1)^2=5
[/mm]
??
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> Ermittle die Gleichung der Tangenten an den Kreis k, die 1)
> parallel, 2) normal zur Geraden g sind.
> a) k: [mm](x-2)^2+(y-1)^2=5;[/mm] g: 2x+y=5
> > Hallo MathematikLosser,
> >
> > > Ermittle die Gleichung der Tangenten an den Kreis k, die 1)
> > > parallel, 2) normal zur Geraden g sind.
> > > a) k: [mm](x-2)^2+(y-1)^2=5;[/mm] g: 2x+y=5
> > > Meine Überlegungen:
> > > zunächst g umstellen:
> > > => y=-2x+5
> > > Wenn die Gerade parallel ist ist die Steigung k
> > gleich.
> > > Folglich wäre y=-2x parallel. Dies ist nun aber
> bloß
> > > überlegt und nicht berechnet. Wie kann ich mir die
> > > parallele Tangente berechnen?
> >
> > Du weisst die Steigung der Tangente,
> > jedoch nicht ihren y-Achsenabschnitt.
> >
> > Daher setze an mit :y=-2*x+b und schneide diese
> > Gerade mit dem Kreis,. dabei ist b so zu wählen,
> > daß diese Gerade mit dem Kreis nur einen Schnittpunkt
> > hat.
> >
> >
> > > und wie berechne ich mir die "normale", also die Tangente,
> > > welche im rechten Winkel steht?
> > > Ich weiß, dass die Steigung der "normalen" Tangente
> > 0,5x
> > > sein müsste, doch wie berechne ich mir beides?
> >
> >
> > Setze an mit: y=0.5*x+d
> >
> > Dann gehst Du vor wie oben beschrieben.
> >
> >
> > > Ich weiße leider nicht wie ich mir das berechne.
> > > Vielen Dank im Voraus!
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Das heißt, ich soll jetzt die Gleichung y=-2x+b in die
> Kreisgleichung einsetzen?
>
> => [mm](x-2)^2+(-2x+b-1)^2=5[/mm]
> ??
Hallo,
ja genauso ist es. Dann ermittel das b so, dass es nur eine Lösung für x gibt.
Anders formuliert:
Betrachte die Funktion [mm] x(b)=(x-2)^2+(-2x+b-1)^2-5.
[/mm]
Für welches b gibt es nur eine einzige Nullstelle?
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> > Ermittle die Gleichung der Tangenten an den Kreis k, die 1)
> > parallel, 2) normal zur Geraden g sind.
> > a) k: [mm](x-2)^2+(y-1)^2=5;[/mm] g: 2x+y=5
> > > Hallo MathematikLosser,
> > >
> > > > Ermittle die Gleichung der Tangenten an den Kreis k, die 1)
> > > > parallel, 2) normal zur Geraden g sind.
> > > > a) k: [mm](x-2)^2+(y-1)^2=5;[/mm] g: 2x+y=5
> > > > Meine Überlegungen:
> > > > zunächst g umstellen:
> > > > => y=-2x+5
> > > > Wenn die Gerade parallel ist ist die Steigung k
> > > gleich.
> > > > Folglich wäre y=-2x parallel. Dies ist nun aber
> > bloß
> > > > überlegt und nicht berechnet. Wie kann ich mir die
> > > > parallele Tangente berechnen?
> > >
> > > Du weisst die Steigung der Tangente,
> > > jedoch nicht ihren y-Achsenabschnitt.
> > >
> > > Daher setze an mit :y=-2*x+b und schneide diese
> > > Gerade mit dem Kreis,. dabei ist b so zu wählen,
> > > daß diese Gerade mit dem Kreis nur einen
> Schnittpunkt
> > > hat.
> > >
> > >
> > > > und wie berechne ich mir die "normale", also die Tangente,
> > > > welche im rechten Winkel steht?
> > > > Ich weiß, dass die Steigung der "normalen"
> Tangente
> > > 0,5x
> > > > sein müsste, doch wie berechne ich mir beides?
> > >
> > >
> > > Setze an mit: y=0.5*x+d
> > >
> > > Dann gehst Du vor wie oben beschrieben.
> > >
> > >
> > > > Ich weiße leider nicht wie ich mir das berechne.
> > > > Vielen Dank im Voraus!
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > Das heißt, ich soll jetzt die Gleichung y=-2x+b in die
> > Kreisgleichung einsetzen?
> >
> > => [mm](x-2)^2+(-2x+b-1)^2=5[/mm]
> > ??
>
> Hallo,
>
> ja genauso ist es. Dann ermittel das b so, dass es nur eine
> Lösung für x gibt.
> Anders formuliert:
>
> Betrachte die Funktion [mm]x(b)=(x-2)^2+(-2x+b-1)^2-5.[/mm]
> Für welches b gibt es nur eine einzige Nullstelle?
Bei 0 ?
denn
[mm] (x-2)+(-2x-1)^2-5=b
[/mm]
[mm] b=x^2-4x+4+4x^2+4x+1-5
[/mm]
[mm] =-3x^2
[/mm]
?
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Ei ei ei, sorry, oben von mir war quatsch! Ich war wohl grad irgendwie kirre in der Birne.
So sollte es richtig sein:
Ausgehend von:
[mm] (x-2)^2+(-2x+b-1)^2=5
[/mm]
[mm] \gdw 5x^2-4bx+b^2-2b=0
[/mm]
[mm] \gdw x^2-\frac{4b}{5}x+\frac{b^2-2b}{5}=0
[/mm]
Wir wissen, dass hier nur eine Lösung existiert, wenn die Diskriminate Null ist.
Also müssen wir auswerten:
[mm] 0=(\frac{4b}{10})^2-\frac{b^2-2b}{5}
[/mm]
Also bekommen wir:
[mm] 0=16b^2-20b^2+40b=-4b^2+40b\gdw0=b^2-10b=b(b-10)
[/mm]
Damit bekommen wir b=0 und b=10.
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> Ei ei ei, sorry, oben von mir war quatsch! Ich war wohl
> grad irgendwie kirre in der Birne.
>
> So sollte es richtig sein:
>
>
> Ausgehend von:
>
> [mm](x-2)^2+(-2x+b-1)^2=5[/mm]
>
> [mm]\gdw 5x^2-4bx+b^2-2b=0[/mm]
>
> [mm]\gdw x^2-\frac{4b}{5}x+\frac{b^2-2b}{5}=0[/mm]
>
> Wir wissen, dass hier nur eine Lösung existiert, wenn die
> Diskriminate Null ist.
>
> Also müssen wir auswerten:
>
> [mm]0=(\frac{4b}{10})^2-\frac{b^2-2b}{5}[/mm]
>
> Also bekommen wir:
>
> [mm]0=16b^2-20b^2+40b=-4b^2+40b\gdw0=b^2-10b=b(b-10)[/mm]
>
> Damit bekommen wir b=0 und b=10.
Eine kurze Frage:
Mir ist ein wenig unklar, wie du auf
[mm] (\bruch{4b}{10})^2
[/mm]
kommst.
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> > Ei ei ei, sorry, oben von mir war quatsch! Ich war wohl
> > grad irgendwie kirre in der Birne.
> >
> > So sollte es richtig sein:
> >
> >
> > Ausgehend von:
> >
> > [mm](x-2)^2+(-2x+b-1)^2=5[/mm]
> >
> > [mm]\gdw 5x^2-4bx+b^2-2b=0[/mm]
> >
> > [mm]\gdw x^2-\frac{4b}{5}x+\frac{b^2-2b}{5}=0[/mm]
> >
> > Wir wissen, dass hier nur eine Lösung existiert, wenn die
> > Diskriminate Null ist.
> >
> > Also müssen wir auswerten:
> >
> > [mm]0=(\frac{4b}{10})^2-\frac{b^2-2b}{5}[/mm]
> >
> > Also bekommen wir:
> >
> > [mm]0=16b^2-20b^2+40b=-4b^2+40b\gdw0=b^2-10b=b(b-10)[/mm]
> >
> > Damit bekommen wir b=0 und b=10.
>
> Eine kurze Frage:
> Mir ist ein wenig unklar, wie du auf
> [mm](\bruch{4b}{10})^2[/mm]
> kommst.
p,q-Formel:
[mm] x_{1,2}=-p/2\pm\sqrt{(p/2)^2-q}
[/mm]
Nun ist [mm] p=-\frac{4b}{5}, [/mm] also [mm] p/2=-\frac{4b/5}{2}=-\frac{4b}{10}=-\frac{2b}{5}
[/mm]
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