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Forum "Uni-Analysis" - Tangente an Kurve legen
Tangente an Kurve legen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Tangente an Kurve legen: Frage1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:17 Di 06.09.2005
Autor: Ohrenmann

Moin,
Ich komme bei einer Klausur-Aufgabe nicht weiter:

An die Kurve [mm] y=2*3^{2-x^2} [/mm] soll an einem Punkt, dessen y-Koordinate den Wert 6 hat, eine Tangente mit positiver steigung gelegt werden. Berechnen Sie die Tangentengleichung. Mein Ansatz: positive Tangentensteigung -> x Koordinate des gesuchten Punktes muss negativ sein.
erste Ableitung bilden, da diese ja die Steigungsfunktion darstellt:
[mm] y'=-36*ln(3)*x*3^{-x^2} [/mm]

für y setze ich jetzt 6 ein:
[mm] 6=-36*ln(3)*x*3^{-x^2} [/mm]
das gibt x1= -0.1558 und x2= -1.4287

Bedeutet das jetzt, dass die Steigung meiner Tangente bei y=6 nun +1,4287 beträgt???

Und wie muss ich weiter machen, um die Aufgabe zu lösen? x=+1,4287 in die Ausgangsgleichung einsetzen und was bekomme ich dann???


Ich poste nur Fragen, mit denen ich mich länger als 30 Minuten beschäftigt habe. Ich steh jetzt gerade vor einer Wand, über die ich nicht alleine hinweg komme!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Tangente an Kurve legen: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Di 06.09.2005
Autor: Loddar

Hallo Ohrenmann!


> Mein Ansatz: positive Tangentensteigung
> -> x Koordinate des gesuchten Punktes muss negativ sein.

> erste Ableitung bilden, da diese ja die Steigungsfunktion
> darstellt:

[ok]


> [mm]y'=-36*ln(3)*x*3^{-x^2}[/mm]

[notok] Hier ist einiges falsch ...

Es gilt: [mm] $\left( \ a^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \ln(a)*a^x$ [/mm]

Zudem hast Du die MBKettenregel falsch angewandt.

Ich erhalte: $f'(x) \ = \ [mm] 2*\ln(3)*3^{2-x^2} [/mm] * (-2x) \ = \ [mm] -4x*\ln(3)*3^{2-x^2}$ [/mm]


Den zugehörigen x-Wert [mm] $x_0$ [/mm] zu [mm] $y_0 [/mm] \ = \ 6$ berechnen wir mit der Ausgangsfunktion $f(x)$:

$6 \ = \ [mm] 2*3^{2-x_0^2} [/mm] \ \ \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ \ \ \ \ [mm] x_0 [/mm] \ = \ ...$


Wie Du richtig bemerkt hast, ist von den beiden möglichen Lösungen der negative der richtige, damit eine positive Tangentensteigung entsteht.

Anschließend berechnen wir die Tangentensteigung mit [mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] f'(x_0) [/mm] \ = \ ...$


Nun diese Werte in die Punkt-Steigungs-Form [mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-y_0}{x-x_0}$ [/mm] einsetzen.


Was erhältst Du?

Kontrollergebnis (bitte nachrechnen, da ohne Gewähr):
$t(x) \ =\ [mm] 12*\ln(3)*x [/mm] + [mm] 12*\ln(3)+6 [/mm] \ = \ [mm] 12*\ln(3)*(x+1)+6$ [/mm]

Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Tangente an Kurve legen: Achsenabschnitt - wie berechne
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 Di 06.09.2005
Autor: Ohrenmann

Hallo Loddar,


> Ich erhalte: [mm]f'(x) \ = \ 2*\ln(3)*3^{2-x^2} * (-2x) \ = \ -4x*\ln(3)*3^{2-x^2}[/mm]
>  
>
> Den zugehörigen x-Wert [mm]x_0[/mm] zu [mm]y_0 \ = \ 6[/mm] berechnen wir mit
> der Ausgangsfunktion [mm]f(x)[/mm]:
>  
> [mm]6 \ = \ 2*3^{2-x_0^2} \ \ \ \ \ \gdw \ \ \ \ \ \ \ x_0 \ = \ ...[/mm]
>  
>
> Wie Du richtig bemerkt hast, ist von den beiden möglichen
> Lösungen der negative der richtige, damit eine positive
> Tangentensteigung entsteht.

also ist [mm] x_0 [/mm] =-1 . Dies ist dann also der x-wert vom Berührungspunkt der Tangente . Die Koordinaten von diesem Punkt: (-1;6)

> Anschließend berechnen wir die Tangentensteigung mit [mm]m_t \ = \ f'(x_0) \ = \ ...[/mm]

bei [mm] x_0 [/mm] =-1  : f'(-1)= -4 * -1 * ln(3) * [mm] 3^{2-(-1)^2} [/mm] = 12*ln(3)

> Nun diese Werte in die Punkt-Steigungs-Form [mm]m_t \ = \ \bruch{y-y_0}{x-x_0}[/mm]
> einsetzen.

[mm] x_0 [/mm] =-1  X-koordinate vom Berührungspunkt
x= -1       ???
[mm] y_0=6 [/mm]    Y-Koordinate vom Berührungspunkt      
y= ?

12*ln(3) = [mm] \bruch{y-6}{-2} [/mm]
führt zum gesuchten y-Wert (b für Tangentengleichung):  y= 6 - 24 * ln(3)

[mm] m_t [/mm] * x + b
12*ln(3)x - 24 *ln(3) +6

Wo ist jetzt wieder mein Fehler???? Steigung stimmt - aber der Achsenabschnitt ist falsch berechnet.


> Kontrollergebnis (bitte nachrechnen, da ohne Gewähr):
>  [mm]t(x) \ =\ 12*\ln(3)*x + 12*\ln(3)+6 \ = \ 12*\ln(3)*(x+1)+6[/mm]
>  

Deine Lösung stimmt. Habe es grafisch überprüft.
Danke Loddar
Bezug
                        
Bezug
Tangente an Kurve legen: Richtig einsetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 Di 06.09.2005
Autor: Loddar

Hallo Ohrenmann!


> also ist [mm]x_0[/mm] =-1 . Dies ist dann also der x-wert vom
> Berührungspunkt der Tangente . Die Koordinaten von diesem
> Punkt: (-1;6)

[ok]


> bei [mm]x_0[/mm] =-1  : f'(-1)= -4 * -1 * ln(3) * [mm]3^{2-(-1)^2}[/mm] = 12*ln(3)

[ok]  Bitte Klammern nicht vergessen:  $y'(-1) \ = \ [mm] -4*\red{(}-1\red{)}*\ln(3)*3^{2-(-1)^2}$ [/mm]

  
> 12*ln(3) = [mm]\bruch{y-6}{-2}[/mm]

[notok] Hier setzt Du falsch ein in die Punkt-Steigungs-Form :

[mm]m_t \ = \ \bruch{y-y_0}{x-x_0}[/mm]

[mm]12*\ln(3) \ = \ \bruch{y-6}{x-(-1)}[/mm]

Und nun in die Normalform $y \ = \ m*x+b$ umformen/umstellen.

Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Tangente an Kurve legen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:56 Di 06.09.2005
Autor: Ohrenmann

Danke Loddar,
jetzt ist mir einiges klar.
werde mir noch einige Aufgaben dieses Types vornehmen und "richtiges" Ableiten üben.
Gruß, Philipp


[mm] y'=-36\cdot{}ln(3)\cdot{}x\cdot{}3^{-x^2} [/mm]
Dies ist die Ableitung vom Voyage 200 und ist gleich deiner Ableitung.
Bezug
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