Tangente an e-Fkt. < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:14 Sa 05.03.2011 | | Autor: | Xylex |
Hi :)
ich sitz grad über Mathe und brauch mal eine gute Erklärung zu meinem Problem.
geg. f(x)=e^(-x) P(2;-1)
Gesucht ist die Funktionsgleichung der Tangente an der e-Fkt. die aber durch den gegebenen Pkt. gehen muss. Ausserdem wird der Berührungspunkt der e-Fkt. und der Tangente gesucht.
Ich steck bei der Tangentengleichung fest.
t(x)=e^(-X)*(1-x+X) das große X steht für den X-Wert des Berührungspunktes von Tangente und e-Fkt.
wenn ich meinen geforderten Pkt in die Gleichung einsetze komme ich zu
-1=e^(-X)*(1-2+X)
mein alter TR sagt X=0,0625
mein neuer sagt X=0 (weitere Lsg. mgl.)
jedenfalls komm ich nicht so recht weiter. wenn ich mit dem X=0,0625 weiter mach und mir die Fkt. zeichnen lasse geht sie knapp am Pkt. vorbei. Der Wert kann also nicht ganz Stimmen.
Auf jeden Fall bräuchte ich mal eine Erklärung zum Rechenweg.
Viele Grüße, und Danke
Xylex
Edit: hier mal ein Bild der Funktion mit meinen falschen Werten.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.wer-weiss-was.de/app/query/display_query?process_id=599064#599064
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:48 Sa 05.03.2011 | | Autor: | Sigma |
Gute Nacht Xylex,
wie lautet den deine Funktion richtig?
Bestimmt nicht [mm] $f(x)=e^{-1}=1/e$!
[/mm]
Dann existiert keine Tangente die durch den Punkt $P(2,-1)$ geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:18 Sa 05.03.2011 | | Autor: | Xylex |
Danke dir habs geändert. Ist eben schon spät ;)
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> geg. f(x)=e^(-x) P(2;-1)
>
> Gesucht ist die Funktionsgleichung der Tangente an der
> e-Fkt. die aber durch den gegebenen Pkt. gehen muss.
> Ausserdem wird der Berührungspunkt der e-Fkt. und der
> Tangente gesucht.
>
> Ich steck bei der Tangentengleichung fest.
> t(x)=e^(-X)*(1-x+X) das große X steht für den X-Wert des
> Berührungspunktes von Tangente und e-Fkt.
>
> wenn ich meinen geforderten Pkt in die Gleichung einsetze
> komme ich zu
>
> -1=e^(-X)*(1-2+X) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
richtig ... aber das muss man doch noch vereinfachen !
> mein alter TR sagt X=0,0625
> mein neuer sagt X=0 (weitere Lsg. mgl.)
>
> jedenfalls komm ich nicht so recht weiter. wenn ich mit dem
> X=0,0625 weiter mach und mir die Fkt. zeichnen lasse geht
> sie knapp am Pkt. vorbei. Der Wert kann also nicht ganz
> Stimmen.
>
> Auf jeden Fall bräuchte ich mal eine Erklärung zum
> Rechenweg.
>
> Viele Grüße, und Danke
> Xylex
>
> Edit: hier mal ein Bild der Funktion mit meinen falschen
> Werten.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
was soll denn die blaue Kurve hier ?
Hallo Xylex,
Die Gleichung kann man z.B. umformen zu
[mm] $e^{-X}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{1-X}$
[/mm]
Skizziert man sich die Kurven [mm] y=e^{-X} [/mm] (die ist ja schon
vorhanden) und [mm] y=\frac{1}{1-X} [/mm] , so erkennt man sofort,
dass sie sich an der Stelle X=0 (und sonst nirgends)
schneiden. Also muss X=0 sein.
Eine formale Auflösung der Gleichung durch Umformung
ist allerdings nicht möglich.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Sa 05.03.2011 | | Autor: | Xylex |
> was soll denn die blaue Kurve hier ?
Ist ein Versehen. gehört nicht dazu
> Die Gleichung kann man z.B. umformen zu
>
> [mm]e^{-X}\ =\ \frac{1}{1-X}[/mm]
>
Irgendwie steh ich grad auf dem Schlauch. Wie komm ich den zu der Gleichung?
Und wie meinst du das es nur diesen Schnittpunkt (1|0) gibt?
Wenn ich mir als Punkt durch die, die Tangente gehen muss z.B. (5|-1) vorgebe dann ist doch der Berührungspunkt abgelesen ca. (1,5|0,5)
Trotzem erstmal danke für die schnelle Antwort
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> > Die Gleichung kann man z.B. umformen zu
> >
> > [mm]e^{-X}\ =\ \frac{1}{1-X}[/mm]
> >
> Irgendwie steh ich grad auf dem Schlauch. Wie komm ich den
> zu der Gleichung?
Du hattest die Gleichung -1=e^(-X)*(1-2+X)
nach Adam Ries: [mm] -1=e^{-X}*(-1+X)
[/mm]
Division durch (-1+X) und Erweitern des Bruches mit (-1)
liefert:
[mm] $\frac{1}{X-1}\ [/mm] =\ [mm] e^{-X}$
[/mm]
> Und wie meinst du das es nur diesen Schnittpunkt (1|0)
> gibt?
Der Schnittpunkt ist nicht (1|0), sondern (0|1) .
Um das zu sehen, skizzierst du dir halt die Kurven !
Dass X=0 die Lösung sein könnte, sieht man ja
auch schon in deiner ersten Zeichnung. Also lohnt
es sich doch bestimmt, diese Vermutung nachzuprüfen.
Perlen, die so am Weg liegen, sollte man auch in
der Mathematik nicht verschmähen ...
> Wenn ich mir als Punkt, durch den die Tangente gehen muss
> z.B. (5|-1) vorgebe dann ist doch der Berührungspunkt
> abgelesen ca. (1,5|0,5)
Um ihn genauer zu bestimmen, müsste man die ent-
sprechende Gleichung analog aufstellen. Sie hat dann
aber keine so schöne und leicht entdeckbare Lösung
wie X=0 , sondern muss mittels Näherungsverfahren
ermittelt werden.
Die dir vorliegende Aufgabe ist so gestrickt, dass sie
die einfache Lösung X=0 hat.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Sa 05.03.2011 | | Autor: | Xylex |
Entschuldige mein Fehler bei den Koordinaten des Schnittpunkts.
Ich verstehe erstmal was du mit deiner Antwort meinst, bzw. die Perlen.... Die Aufgabe hab ich mir übrigens selbst gestellt, um zu verstehen wie die Zusammenhänge sind.
Deiner letzten Antwort zu Folge scheint es aber wirklich so zu sein das man den Schnittpunkt bei den meisten Aufgaben nur per Näherung raus bekommt und es keine einfache und immer Stimmende Formel gibt.
Nochmal vielen Dank für deine Hilfe, hab jetzt wieder ein Stück mehr verstanden.
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> Die Aufgabe hab ich mir übrigens selbst
> gestellt, um zu verstehen wie die Zusammenhänge sind.
Dann hattest du bei der Wahl des Punktes P(2/-1) eine
"glückliche Hand" ... 
> Deiner letzten Antwort zu Folge scheint es aber wirklich so
> zu sein das man den Schnittpunkt bei den meisten Aufgaben
> nur per Näherung raus bekommt und es keine einfache und
> immer Stimmende Formel gibt.
Kommt natürlich auch auf die Art der Kurven an, die du
wählst. Handelt es sich dabei z.B. um eine Parabel, dann
kann man die Tangentenberührungspunkte stets exakt
ermitteln.
> Nochmal vielen Dank für deine Hilfe, hab jetzt wieder ein
> Stück mehr verstanden.
Schön 
LG Al-Chw.
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