Tangente und Normalebene < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man bestimme zu der Kurve [mm] c(t)=((1+t),-t^2,(1+t^3)) [/mm] in [mm] \IR^3 [/mm] die Gleichung des Tangente und der Normalebene im Punkt t=1 |
Hallo
Für die Tangente brauch ich folgendes:
c(1)=(2,-1,2)
[mm] c'(t)=(t,-2t,3t^2)
[/mm]
c'(1)=(1,-2,3)
Allgemeine Tangentengleichung lautet y=c(a)+(x-a)c'(a) am Punkt a
Also eingesetzt komme ich auf
[mm] y(t)=\vektor{2 \\ -1 \\ 2} +(t-1)*\vektor{1 \\ -2 \\ 3}=t*\vektor{1 \\ -2 \\ 3} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Für die Normalebene benötige ich einen Normalenvektor, also n*c'(1)=0. Ein Normalenvektor ist [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1}, [/mm] denn -1-2+3=0
Also lautet die Normalebene [mm] (t-1)*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}=0
[/mm]
Bei der Normalebene bin ich mir usicher, da ich viele verschiedene Gleichungen der Noamelebene gesehen habe.
Vielen Dank für die Hilfe
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 Di 11.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Die Tangente und die Normalebene schneiden sich senkrecht im Punkt c(1).
Damit ist der Richtungsvektor [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 3} [/mm] der Tangente der Normalenvektor der gesuchten Ebene.
Da auch c(1)=(2,-1,2) zur gesuchten Ebene gehört, kannst Du doch jetzt locker die Hessenormalform der Ebene aufstellen.
FRED
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Hallo
> Die Tangente und die Normalebene schneiden sich senkrecht
> im Punkt c(1).
>
> Damit ist der Richtungsvektor [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 3}[/mm] der
> Tangente der Normalenvektor der gesuchten Ebene.
>
> Da auch c(1)=(2,-1,2) zur gesuchten Ebene gehört, kannst
> Du doch jetzt locker die Hessenormalform der Ebene
> aufstellen.
>
> FRED
Also lautet die Normalebene dann [mm] r*\vektor{1 \\ -2 \\ 3}- \vektor{2 \\ -1 \\ 2}=0?
[/mm]
gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Di 11.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> > Die Tangente und die Normalebene schneiden sich
> senkrecht
> > im Punkt c(1).
> >
> > Damit ist der Richtungsvektor [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 3}[/mm] der
> > Tangente der Normalenvektor der gesuchten Ebene.
> >
> > Da auch c(1)=(2,-1,2) zur gesuchten Ebene gehört, kannst
> > Du doch jetzt locker die Hessenormalform der Ebene
> > aufstellen.
> >
> > FRED
>
> Also lautet die Normalebene dann [mm]r*\vektor{1 \\ -2 \\ 3}- \vektor{2 \\ -1 \\ 2}=0?[/mm]
Nein. Dir scheint die Hessenormalform nicht bekannt zu sein .
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform
FRED
>
> gruß
> TheBozz-mismo
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Hallo nochmal!
Ok, ich versuche es aufs Neue:
[mm] (t-\vektor{2 \\ -1 \\ 2})*\bruch{1}{\wurzel{14}}*\vektor{1 \\ -2 \\ 3}=0, [/mm] wobei eben [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 2} [/mm] der Stützvektor ist und [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 3} [/mm] der Normalenvektor, bzw. der Normalenvektor mit der Norm 1.
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Di 11.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal!
>
> Ok, ich versuche es aufs Neue:
>
> [mm](t-\vektor{2 \\ -1 \\ 2})*\bruch{1}{\wurzel{14}}*\vektor{1 \\ -2 \\ 3}=0,[/mm]
> wobei eben [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 2}[/mm] der Stützvektor ist und
> [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 3}[/mm] der Normalenvektor,
Wenn $t= [mm] \vektor{x \\ y \\ z}$ [/mm] ist stimmts.
> bzw. der
> Normalenvektor mit der Norm 1.
Die Normierung hättest Du Dir sparen können.
FRED
>
> TheBozz-mismo
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Vielen lieben Dank für die Geduld und die Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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> Die Normierung hättest Du Dir sparen können.
In der Hesse-Normalform ist die Normierung inbegriffen.
Hier hätte man aber auch ganz gut ohne Hesse auskommen
können.
Ich vermisse am Schluss noch als eigentliche Lösung die
einfache Ebenengleichung etwa in der Form
x-2y+3z=10
LG Al-Chw.
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Danke.
Aber in der Aufgabe steht ja nicht,dass man eine Koordinatengleichung aufstellen muss, aber ist ja kein großer Aufwand, von [mm] (\vektor{x \\ y \\ z}-\vektor{2 \\ -1 \\ 2})*\vektor{1 \\ -2 \\ 3}
[/mm]
auf x-2y+3z=10 zu kommen.
Aber trotzdem vielen lieben Dank für dein Kommentar!
Gruß
TheBozz-mismo
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> Aber in der Aufgabe steht ja nicht,dass man eine
> Koordinatengleichung aufstellen muss, aber ist ja kein
> großer Aufwand, von [mm](\vektor{x \\ y \\ z}-\vektor{2 \\ -1 \\ 2})*\vektor{1 \\ -2 \\ 3}[/mm]
>
> auf x-2y+3z=10 zu kommen.
Eben. Gerade deshalb solltest du diesen kleinen Service
auch selber übernehmen.
Insbesondere wäre anstatt eines Terms eine Gleichung
anzugeben (eine Gleichung enthält unter anderem auch
ein Gleichheitszeichen ...  )
LG Al-Chw.
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> Man bestimme zu der Kurve [mm]c(t)=((1+t),-t^2,(1+t^3))[/mm] in
> [mm]\IR^3[/mm] die Gleichung der Tangente und der Normalebene im
> Punkt mit t=1
> Für die Tangente brauch ich folgendes:
> c(1)=(2,-1,2)
> [mm]c'(t)=(t,-2t,3t^2)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das müsste heißen: [mm]c'(t)=(1,-2t,3t^2)[/mm]
> c'(1)=(1,-2,3)
(dies stimmt dann natürlich wieder, zufälligerweise ...)
LG
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Vielen Dank für die Entdeckung meines Fehlers.
Gruß
TheBozz-mismo
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