Tangente von Hyperbel < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Do 14.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
Hallo zusammen,
ich moechte ueben, wie man den Beruehrpunkt von Tangente und Hyperbel berechnet. Leider habe ich keine Aufgaben dazu und im www nichts gefunden.
Bei geogebra habe ich versucht, selbst was zu erfinden, jedoch kenne ich mich damit ueberhaupt nicht aus und bekomme ziemlich schraege Gleichungen.
Ich wuerde mich freuen, wenn jemand mit die Brennpunkte und die Tangente einer Hyperbel nennen koennte, so dass ich die Beruehrpunkte konstruieren und die Gleichung der Hyperbel bestimmen kann.
Vielen Dank im Voraus
LG Laura
|
|
| |
|
Ich bin von einer Hyperbel in Hauptlage ausgegangen:
[mm]\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1[/mm]
Dann habe ich einen beliebigen Hyperbelpunkt ungleich einem Scheitelpunkt genommen:
[mm]H = (p,q) \ \ \text{mit} \ \ \frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1 \, , \ q \neq 0[/mm]
und eine Gerade mit der noch unbekannten Steigung [mm]m[/mm] durch ihn hindurchgelegt:
[mm]y = m \left( x - p \right) + q[/mm]
Durch Einsetzen von [mm]y[/mm] in die Hyperbelgleichung ganz oben bekommt man eine quadratische Gleichung in [mm]x[/mm], die, damit die Gerade Tangente wird, nur eine Lösung haben darf. Ich habe daher die Diskriminante der quadratischen Gleichung gleich Null gesetzt und mit Hilfe eines CAS für [mm]m[/mm] das Folgende erhalten:
[mm]m = \frac{b^2 p}{a^2 q}[/mm]
Beispiel
Hyperbel: [mm]\frac{x^2}{4^2} - \frac{y^2}{5^2} = 1[/mm]
Hyperbelpunkt: [mm]H = \left( \frac{17}{2} \, , \, \frac{75}{8} \right)[/mm]
Tangentensteigung: [mm]m = \frac{5^2 \cdot \frac{17}{2}}{4^2 \cdot \frac{75}{8}} = \frac{17}{12}[/mm]
Tangentengleichung: [mm]y = \frac{17}{12} \cdot \left( x - \frac{17}{2} \right) + \frac{75}{8} \ \ \Leftrightarrow \ \ y = \frac{17}{12} x - \frac{8}{3}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Do 14.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
Vielen Dank! Dann mach ich mich mal ran an die Arbeit 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:30 Di 19.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Brennpunkte einer Hyperbel [mm] F_1(-\wurzel{41}) [/mm] und [mm] F_(\wurzel{41}) [/mm] sowie die Tangente T:y=17/12x+8/3.
a) Wie können Sie die Berührpunkte konstruieren? Begründen Sie ihre Antwort.
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Hyperbel und die Berührpunkte. |
Guten Morgen,
die Aufgabe die ich mit deinen Angaben gebastelt habe steht oben.
Ich habe die Aufgabe nun gelöst und würde mich freuen, wenn jemand Korrekturlesen könnte.
a) Wir zeichnen eine Gerade [mm] g_1 [/mm] durch [mm] F_1 [/mm] und B (Berührpunkt) und eine Gerade [mm] g_2 [/mm] durch [mm] F_2 [/mm] und B. Sei der Winkel [mm] F_1BF_2=\beta
[/mm]
Die Tangente halbiert den Winkel [mm] \beta =2\alpha
[/mm]
Spiegeln wir [mm] F_1 [/mm] an der Tangente T, so liegt dieser auf der Geraden [mm] g_2, [/mm] die durch [mm] F_1 [/mm] und B geht. Laut Konstruktion gilt |F'_1B|=|F_1B|. Das Dreieck F_1BF'_1 ist also gleichschenklig.
Der Berührpunkt kann also konstruiert werden, indem wir [mm] F_1 [/mm] an der Tangente spiegeln und den gespiegelten Punkt mit [mm] F_2 [/mm] verbinden. Der Schnittpunkt B von T und der gezeichneten Gerade ist der gesuchte Berührpunkt.
Reicht dies als Begründung?
b)
T: [mm] y=\bruch{17}{12}x-\bruch{8}{3}
[/mm]
Orthogonale zu T durch [mm] F_1: y'=-\bruch{12}{17}x-\bruch{12\wurzel{41}}{17}
[/mm]
Schnittpunkt der beiden Geraden:
[mm] \bruch{17}{12}x-\bruch{8}{3}==-\bruch{12}{17}x-\bruch{12\wurzel{41}}{17}
[/mm]
x [mm] \approx [/mm] -0.87
y [mm] \approx [/mm] -3.9
SP(-0.87,-3.6)
Vom Schnittpunkt aus gehen wir die selben Schritte auf der x und y Achse und erhalten für F'_1 die Koordinaten (4,66/-7,8)
Der Abstand zwischen F'_1 und [mm] F_2 [/mm] betraegt
[mm] |F'_1F_2|\approx [/mm] 8,07
Nach Konstruktion gilt:
[mm] |F_1B|=|F'1_B| [/mm] und mit der Vorlesung folgt:
[mm] |PF_1|-|PF_2|=|F'_1F_2|\approx [/mm] 8,07=2a
[mm] a\approx [/mm] 4.04
[mm] b\approx [/mm] 4,97 b folgt aus [mm] e^2=a^2-b^2
[/mm]
Die Hyperbelgleichung: [mm] \bruch{x^2}{4,04}-\bruch{y^2}{4,97}=1
[/mm]
Für den Berührpunkt habe ich die Hyperbel abgeleitet und mit der Steigung der Tangente gleichgesetzt.
[mm] \bruch{25x^2}{16*\wurzel{\bruch{25}{16}x^2-25}}=\bruch{17}{12}
[/mm]
Dadurch erhalte ich x=17/2 da x > 0 und y= 75/8.
Da diese Punkte von Leopold_Gast angegeben wurden sollte dies eigentlich stimmen.
Danke im Voraus.
LG Laura
|
|
|
| |
|
Das stimmt wohl alles. Durch das Runden schleichen sich natürlich Ungenauigkeiten ein. Ich gebe allerdings zu, daß ein Verzichten aufs Runden von Hand kaum mehr zu bewältigen ist. Mit einem CAS habe ich das Folgende erhalten:
[mm]SP = \left( - \frac{16}{433} \left( 9 \sqrt{41} - 34 \right) \, , \, - \frac{12}{433} \left( 17 \sqrt{41} + 32 \right) \right)[/mm]
[mm]F'_1 = \left( \frac{1}{433} \left( 145 \sqrt{41} + 1088 \right) \, , \, - \frac{24}{433} \left( 17 \sqrt{41} + 32 \right) \right)[/mm]
Der Abstand von [mm]F'_1[/mm] und [mm]F_2[/mm] ergibt dann exakt 8.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Do 14.08.2014 | | Autor: | weduwe |
wenn du das zeug tatsächlich mit ZuL KONSTRUIEREN willst,
eine bedienungsanleitung
(damit kann man natürlich auch die parameter der hyperbel berechnen)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Do 14.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
Sehr lieb, dass du dir die Mühe gemacht hast. Das wird mir eine große Hilfe sein! Vielen Dank!
|
|
|
|
