Tangente zweier Gleichungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Do 26.05.2005 | | Autor: | Bepi |
Hallo
Ich komme beim lernen bei der folgenden Aufgabe überhaupt nicht weiter.
Stellen Sie fest, ob und an welchen Stellen die beiden Funktionen eine gemeinsame Tangente haben. Geben Sie gegebenfalls die GLeicungen für die Tangenten an.
[mm] f(x)=4x-e^{4-x^2} [/mm]
[mm] g(x)=4x+x^2-5 [/mm]
Wenn mir jemand die Aufgabe lösen konnte wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.uni-protokolle.de
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich vermisse Deine Ideen/Ansätze.
Die Wahrscheinlichkeit, daß Dir jemand antwortet, ist größer, wenn Du auch Deine Ideen/Ansätze postest.
> Stellen Sie fest, ob und an welchen Stellen die beiden
> Funktionen eine gemeinsame Tangente haben. Geben Sie
> gegebenfalls die GLeicungen für die Tangenten an.
>
> [mm]f(x)=4x-e^{4-x^2}[/mm]
> [mm]g(x)=4x+x^2-5[/mm]
Wenn f und g gleiche Tangenten haben sollen, dann müssen deren Steigungen übereinstimmen: f'(x) = g'(x).
Diese Gleichung mußt Du dann lösen.
Falls es Tangenten gibt, werden deren Gleichungen nach der Punkt-Steigungsform ermittelt:
[mm]\frac{{y\; - \;f(x_{0} )}}{{x\; - \;x_{0} }}\; = \;f'(x_{0} )[/mm]
bzw.
[mm]\frac{{y\; - \;g(x_{0} )}}{{x\; - \;x_{0} }}\; = \;g'(x_{0} )[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Do 26.05.2005 | | Autor: | Bepi |
Hallo
Danke für die schnelle Antwort. Ich kann leider keine Ansätze liefern da ich seid über einem Jahr mich mit solchen Aufgaben nicht mehr beschäftigt habe.
Ich hoffe trotzdem das du oder jemand anderes mir diese Aufgabe lösen. Würde mir sehr helfen.
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Hallo Bepi,
> Danke für die schnelle Antwort. Ich kann leider keine
> Ansätze liefern da ich seid über einem Jahr mich mit
> solchen Aufgaben nicht mehr beschäftigt habe.
> Ich hoffe trotzdem das du oder jemand anderes mir diese
> Aufgabe lösen. Würde mir sehr helfen.
Nun ja, zunächst mal die Ableitungen von f und g:
[mm]\begin{array}{l}
f'(x)\; = \;4\; + \;2x\;e^{4\; - \;x^2 } \\
g'(x)\; = \;4\; + \;2x \\
\end{array}[/mm]
Setzen wir diese gleich, so folgt:
[mm]\begin{array}{l}
f'(x)\; = \;g'(x) \\
\Leftrightarrow \;4\; + \;2x\;e^{4\; - \;x^{2} } \; = \;4\; + \;2x \\
\Leftrightarrow \;2x\;\left( {1\; - \;e^{4\; - \;x^{2} } } \right)\; = \;0 \\
\Leftrightarrow \;x\; = \;0\; \vee \;1\; = \;e^{4\; - \;x^{2} } \\
\Leftrightarrow \;x\; = \;0\; \vee \;x\; = \; - 2\; \vee \;x\; = \;2 \\
\end{array}[/mm]
Demnach lauten die Tangentengleichungen wie folgt:
Für x = 0:
[mm]\begin{array}{l}
\frac{{y\; - \;f(0)}}{x}\; = \;\frac{{y\; + \;e^4 \;\;}}{x}\; = \;4 \\
\frac{{y\; - \;g(0)}}{x}\; = \;\frac{{y\; + \;5\;\;}}{x}\; = \;4 \\
\end{array}[/mm]
Für x = 2:
[mm]\begin{array}{l}
\frac{{y\; - \;f(2)}}{{x\; - \;2}}\; = \;\frac{{y\; - \;7\;\;}}{{x\; - \;2}}\; = \;8 \\
\frac{{y\; - \;g(2)}}{{x\; - \;2}}\; = \;\frac{{y\; - \;7\;}}{{x\; - \;2}}\; = \;8 \\
\end{array}[/mm]
Für x = -2:
[mm]\begin{array}{l}
\frac{{y\; - \;f( - 2)}}{{x\; + \;2}}\; = \;\frac{{y\; + \;9\;\;}}{x}\; = \;0 \\
\frac{{y\; - \;g( - 2)}}{{x\; + \;2}}\; = \;\frac{{y\; + 9\;\;}}{{x\; + \;2}}\; = \;0 \\
\end{array}[/mm]
Hieraus folgt nun, daß es nur für x=2 und x=-2 gemeinsame Tangenten geben kann.
Für x = 0, sind die Tangenten parallel, da der y-Achsenabschnitt unterschiedlich ist.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Do 26.05.2005 | | Autor: | Bepi |
Danke für die Antwort. Werde es mir morgen in aller Ruhe nochmal durchlesen und üben.
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