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Forum "Sonstiges" - Tangenten a Kreis orthog. zu g
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Tangenten a Kreis orthog. zu g: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:35 Mo 17.02.2020
Autor: hase-hh

Aufgabe
Bestimmen Sie die Tangentengleichungen an den Kreis k, die orthogonal zu der Geraden g verlaufen.

k:  [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 16

g:  [mm] \vektor{8\\15}*\vec{x} [/mm] - 30 = 0

Moin Moin,

hier fehlt mir eine Idee bzw. ein Ansatz.   :(


Ich weiß:

Der Kreis k  hat den Mittelpunkt  M (0/0)  und den Radius  r= 4.

Die Gerade g ist in Normalenform gegeben. In Koordinatenform:

8x +15y = 30   bzw.  y = [mm] -\bruch{8}{15}x [/mm] +2


Eine Tangente, die orthogonal zu g verlaufen soll, müsste also die Steigung

m = [mm] \bruch{15}{8} [/mm] haben.


t(x) = [mm] \bruch{15}{8}*x [/mm] + w


Wenn ich diese Gleichung in den Kreis einsetze, erhalte ich

[mm] x^2 [/mm] + [mm] (\bruch{15}{8}*x [/mm] + [mm] w)^2 [/mm] = 16

Dies könnte ich zwar nach x auflösen...


[mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{225}{64}*x^2 +\bruch{15}{4}*w*x [/mm] + [mm] w^2 [/mm] - 16 = 0


[mm] \bruch{289}{64}*x^2 +\bruch{15}{4}*w*x [/mm] + [mm] w^2 [/mm] - 16 = 0


[mm] x^2 +\bruch{240}{289}*w*x [/mm] + [mm] \bruch{64}{289}*w^2 [/mm] - [mm] \bruch{1024}{289} [/mm] = 0


[mm] x_{1/2} [/mm] = - [mm] \bruch{120}{289}*w \pm \wurzel{(\bruch{120}{289}*w)^2 - (\bruch{64}{289}*w^2 - \bruch{1024}{289})} [/mm]


Da t(x) eine Tangente an den Kreis sein soll, gibt es (in Abhängigkeit von w) aber nur eine Lösung, richtig?


D.h.  [mm] \wurzel{(\bruch{120}{289}*w)^2 - \bruch{64}{289}*w^2 + \bruch{1024}{289}} [/mm]  = 0

[mm] \bruch{14400}{83521}*w^2 [/mm] - [mm] \bruch{64}{289}*w^2 [/mm] + [mm] \bruch{1024}{289} [/mm] = 0

- [mm] \bruch{4096}{83521}*w^2 [/mm] + [mm] \bruch{1024}{289} [/mm] = 0

[mm] w^2 [/mm] = [mm] \bruch{289}{4} [/mm]

[mm] w_{1/2} [/mm] =  [mm] \pm \bruch{17}{2} [/mm]


Daraus würde folgen, wenn dies soweit richtig ist:

[mm] x_{t1} [/mm] = - [mm] \bruch{60}{17} [/mm]        bzw.  für die andere Tangente      [mm] x_{t2} [/mm] =  [mm] \bruch{60}{17} [/mm]


[mm] t_1(x)= \bruch{15}{8}*x [/mm] + [mm] \bruch{17}{2} [/mm]     bzw. [mm] t_2(x)= \bruch{15}{8}*x -\bruch{17}{2} [/mm]

[mm] y_{t1} [/mm] = [mm] \bruch{32}{17} [/mm]     bzw.  [mm] y_{t2} [/mm] = - [mm] \bruch{32}{17} [/mm]  


Gibt es vielleicht noch weitere Lösungsideen???



Danke & Gruß!








        
Bezug
Tangenten a Kreis orthog. zu g: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Mo 17.02.2020
Autor: leduart

Hallo da die Tangente senkrecht auf dem Radius steht, nimmt man einfach eine Parallele zu der Geraden und schneidet sie mit dem Kreis. dann hat man die 2 Berührpunkte und mit [mm] xx_p+y_yp=16 [/mm] die 2 Tangenten
Aber dein Weg ist auch ok und richtig, manchmal hilft es sich vorzustellen, wie man das konstruiert.
Gruß ledum

Bezug
                
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Tangenten a Kreis orthog. zu g: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Mo 17.02.2020
Autor: hase-hh


> Hallo da die Tangente senkrecht auf dem Radius steht, nimmt
> man einfach eine Parallele zu der Geraden und schneidet sie
> mit dem Kreis.

Klingt interessant. Wie wäre der Ansatz?

Ich kann ja nicht davon ausgehen, dass die Gerade den Kreis schneidet.

> dann hat man die 2 Berührpunkte und mit
> [mm]xx_p+y_yp=16[/mm] die 2 Tangenten
>  Aber dein Weg ist auch ok und richtig, manchmal hilft es
> sich vorzustellen, wie man das konstruiert.
>  Gruß ledum  


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Tangenten a Kreis orthog. zu g: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:44 Mo 17.02.2020
Autor: chrisno

Konstruiere (Berechne) die Parallele zur Geraden, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft.
Die Schittpunkte dieser Geraden mit dem Kreis (Abstand r vom Mittelpunkt) sind die Berührpunkte der Tangenten. Die Steigung hast Du ja schon.

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Tangenten a Kreis orthog. zu g: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:35 Mo 17.02.2020
Autor: HJKweseleit

Verschiebe g durch den Kreismittelpunkt, hier also durch den Ursprung. Dafür gilt dann y = [mm] -\bruch{8}{15}x. [/mm] Diese schneidet den Kreis da, wo y = [mm] -\bruch{8}{15}x [/mm] ist. Die Tangenten durch diese Schnittpunkte sind dann senkrecht zu g.

[mm] x^2 [/mm] + ( [mm] -\bruch{8}{15}x)^2 [/mm] = 16
[mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{64}{225}x^2 [/mm] = [mm] \bruch{289}{225}x^2 [/mm] = 16
[mm] \pm \bruch{17}{15}x=4 [/mm]
x = [mm] \pm \bruch{60}{17} [/mm]

Den Rest hast du schon selbst gemcht.

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Tangenten a Kreis orthog. zu g: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:57 Di 18.02.2020
Autor: hase-hh

D.h. wenn ich zwei Tangenten an einen Kreis lege, die parallel zueinander sind, dann gilt für die orthogonale Gerade durch die Berührpunkte, dass diese durch den Mittelpunkt des Kreises geht; richtig?

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Tangenten a Kreis orthog. zu g: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:20 Di 18.02.2020
Autor: leduart

ja, aber warum überlegst du das nicht selbst, ein bissel mehr Selbstvertrauen!
Gruß ledum

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