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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Tangenten an e-Funktion
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Tangenten an e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:03 Fr 01.11.2019
Autor: hase-hh

Aufgabe
Bestimmen Sie die Punkte des Graphen der natürlichen Exponentialfunktion, in denen die Tangenten durch (1 / 1) verlaufen.

Moin Moin,

hier blicke ich nicht durch, was da genau gefragt ist und wie man zur Lösung kommt.


1. Idee

Die natürliche Exponentialfunktion lautet

f(x) = [mm] e^x [/mm]

oder nicht?


... und  f '(x) = [mm] e^x [/mm]


Die Tangentengleichungen, die hier gesucht werden (sind doch mehrere, oder?), haben die Form:

t(x) = m*x + b       m = f '(x)  


Nehmen wir an, die Tangente berührt f  bei [mm] (x_0 [/mm]  / [mm] e^{x_0}), [/mm] dann gilt


I.  f ' [mm] (x_0) [/mm] = [mm] e^{x_0} [/mm]

bzw.  t(x) = f ' [mm] (x_0)*x [/mm] +b

II.  t(1) = 1   bzw.  1 = f ' [mm] (x_0)*1 [/mm] + b

      1 = [mm] e^{x_0} [/mm] + b


ferner

III.  t(x) = f ' [mm] (x_0)*x [/mm] + b     bzw.  [mm] e^{x_0} [/mm] = [mm] e^{x_0}*x_0 [/mm] + b


Nun könnte ich noch II.  b = 1 - [mm] e^{x_0} [/mm]  in III. einsetzen...


[mm] e^{x_0} [/mm] = [mm] e^{x_0}*x_0 [/mm] +1 - [mm] e^{x_0} [/mm]


... aber was bringt das?  und wie komme ich zur Lösung???



Danke & Gruß!








        
Bezug
Tangenten an e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:02 Sa 02.11.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

überlege dir, dass für die allgemeine Tangentengleichung einer Funktion an der Stelle [mm] x_0 [/mm] gilt:

$t(x) = [mm] f'(x_0)(x-x_0) [/mm] + [mm] f(x_0)$ [/mm]

Hier also:

$t(x) = [mm] e^{x_0}(x-x_0) [/mm] + [mm] e^{x_0} [/mm] = [mm] e^{x_0}(x-x_0 [/mm] + 1)$

Gesucht sind nun also all diejnigen [mm] x_0 [/mm] für die $t(1) = 1$, also [mm] $e^{x_0}(2 [/mm] - [mm] x_0) [/mm] = 1$

Das ergibt zwei nicht-triviale Lösungen…

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Tangenten an e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:03 Sa 02.11.2019
Autor: hase-hh

Moin Gono,

vielen Dank für die Antwort.


$ [mm] e^{x_0} [/mm] $ = $ [mm] e^{x_0}\cdot{}x_0 [/mm] $ +1 - $ [mm] e^{x_0} [/mm] $

> Hiho,
>  
> überlege dir, dass für die allgemeine Tangentengleichung
> einer Funktion an der Stelle [mm]x_0[/mm] gilt:
>  
> [mm]t(x) = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)[/mm]
>  
> Hier also:
>  
> [mm]t(x) = e^{x_0}(x-x_0) + e^{x_0} = e^{x_0}(x-x_0 + 1)[/mm]
>  
> Gesucht sind nun also all diejnigen [mm]x_0[/mm] für die [mm]t(1) = 1[/mm],
> also [mm]e^{x_0}(2 - x_0) = 1[/mm]
>  
> Das ergibt zwei nicht-triviale Lösungen…
>  
> Gruß,
>  Gono

Ich war bis zu dieser Stelle gekommen:

[mm] e^{x_0} [/mm] = [mm] e^{x_0}\cdot{}x_0 [/mm] +1 - [mm] e^{x_0} [/mm]


... also weiter umformen...

[mm] 2e^{x_0} [/mm] = [mm] e^{x_0}\cdot{}x_0 [/mm] +1

[mm] 2e^{x_0} [/mm] - [mm] e^{x_0}\cdot{}x_0 [/mm] = 1

[mm] e^{x_0}*(2- x_0) [/mm] = 1


Aber wie soll ich das jetzt lösen?  Das Problem ist doch, dass [mm] x_0 [/mm] sowohl im Exponenten alsauch auf dem "Boden" vorkommt???


Mein Taschenrechner liefert zwar

[mm] x_{01} [/mm] = -1,146
[mm] x_{02} [/mm] = 1,841

aber wie kommt man schriftlich zur Lösung???

Bezug
                        
Bezug
Tangenten an e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:22 Sa 02.11.2019
Autor: fred97


> Moin Gono,
>  
> vielen Dank für die Antwort.
>  
>
> [mm]e^{x_0}[/mm] = [mm]e^{x_0}\cdot{}x_0[/mm] +1 - [mm]e^{x_0}[/mm]
>  
> > Hiho,
>  >  
> > überlege dir, dass für die allgemeine Tangentengleichung
> > einer Funktion an der Stelle [mm]x_0[/mm] gilt:
>  >  
> > [mm]t(x) = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)[/mm]
>  >  
> > Hier also:
>  >  
> > [mm]t(x) = e^{x_0}(x-x_0) + e^{x_0} = e^{x_0}(x-x_0 + 1)[/mm]
>  >  
> > Gesucht sind nun also all diejnigen [mm]x_0[/mm] für die [mm]t(1) = 1[/mm],
> > also [mm]e^{x_0}(2 - x_0) = 1[/mm]
>  >  
> > Das ergibt zwei nicht-triviale Lösungen…
>  >  
> > Gruß,
>  >  Gono
>
> Ich war bis zu dieser Stelle gekommen:
>  
> [mm]e^{x_0}[/mm] = [mm]e^{x_0}\cdot{}x_0[/mm] +1 - [mm]e^{x_0}[/mm]
>  
>
> ... also weiter umformen...
>  
> [mm]2e^{x_0}[/mm] = [mm]e^{x_0}\cdot{}x_0[/mm] +1
>
> [mm]2e^{x_0}[/mm] - [mm]e^{x_0}\cdot{}x_0[/mm] = 1
>
> [mm]e^{x_0}*(2- x_0)[/mm] = 1
>
>
> Aber wie soll ich das jetzt lösen?  Das Problem ist doch,
> dass [mm]x_0[/mm] sowohl im Exponenten alsauch auf dem "Boden"
> vorkommt???
>
>
> Mein Taschenrechner liefert zwar
>  
> [mm]x_{01}[/mm] = -1,146
>  [mm]x_{02}[/mm] = 1,841
>  
> aber wie kommt man schriftlich zur Lösung???  

Obige Gleichung  lässt sich nicht von Hand auflösen,  man benötigt schon  ein numerisches Verfahren.  Dein  Taschenrechner kann sowas offenbar.  





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