Tangenten t bestimmen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Mo 05.02.2007 | | Autor: | Kiuko |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Steigung der Tangenten t und der Normalen n des Schaubildes der Funktion f im Berührpunkt B. Geben Sie Gleichungen von t und n an.
[mm] f(x)=\bruch{1}{3}x³ [/mm] -x ; B(3/6)
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Hallo :)
So wie ich das hier nun sehe, denke ich, dass ich hierbei erst einmal m(x) ausrechnen muss, richtig?
[mm] f(x)=\bruch{1}{3}x³ [/mm] -x
m(x)= [mm] \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
[mm] m(x)=\bruch{\bruch{1}{3}x³-x -6}{x-3}
[/mm]
Richtig soweit? denn ich bin mir nicht sicher, ob die 6 richtig ist, weil ich nicht genau weiß, wie ich mit [mm] f(x_{0}) [/mm] raus bekomme, wenn der Punkt doch B(3/6) ist.
Und 6 wäre doch, wenn wir mal annehmen, dass der Punkt [mm] P_{0}(x_{0}/y_{0}) [/mm] ist?
Dann könnte ich die 6 ja so nicht für das x einsetzen sondern müsste ja eher die 3 nehmen, oder? *seufzt*
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:37 Mo 05.02.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Kiuko!
Ist Deine Aufgabenstellung auch richtig abgetippt bzw. angegeben? Denn schließlich liegt der angegebene Punkt $B_$ gar nicht auf der Kurve der Funktion.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Mo 05.02.2007 | | Autor: | Kiuko |
ich habe es verbessert.. habe mich 2 mal verschrieben, tut mir leid :)
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Hallo Kiuko!
Durch die Vorgabe in der Aufgabenstellung gilt ja: [mm] $\blue{x_0 \ = \ 3}$ [/mm] sowie [mm] $\red{y_0 \ = \ f(x_0) \ = \ f(3) \ = \ 6}$
[/mm]
Dies setzen wir nun in den  Diffrenzequotienten ein (wie Du es ja bereits begonnen hast):
[mm] $f'(x_0) [/mm] \ = \ [mm] f'(\blue{3}) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\blue{3}}\bruch{f(x)-\red{f(x_0)}}{x-\blue{x_0}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\blue{3}}\bruch{\bruch{1}{3}x^3-x-\red{6}}{x-\blue{3}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow3}\bruch{\bruch{1}{3}*\left(x^3-3x-18\right)}{x-3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\limes_{x\rightarrow3}\bruch{x^3-3x-18}{x-3} [/mm] $
Führe nun eine Polynomdivision [mm] $\left(x^3-3x-18\right) [/mm] \ : \ (x-3)$ durch und anschließend die Grenzwertbetrachtung [mm] $x\rightarrow [/mm] 3$ .
Damit hast Du dann die Steigung $m_$ der Tangenten. Die Tangentengleichung erhältst Du dann über die Punkt-Steigungs-Form einer Geraden:
$m \ = \ [mm] \bruch{y-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-6}{x-3}$
[/mm]
Die Steigung $n_$ der Normalen ergibt sich dann mit der Formel $m*n \ = \ -1$ ; schließlich stehen diese beiden Geraden (Tangente und Normale) senkrecht aufeinander.
Gruß vom
Roadrunner
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