Tangenten und Normale < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Nadine__ |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Steigung der Tagente t un der Normalen n des Graphen der Funktion f im Berührpunkt P(null). Geben Sie Gleichungen von t und n an.
Tagente t:
y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)
Normale n:
y=-1/f'(x0)*(x-x0)+f(x0)
a) f(x) = 1/2x²; P0(2/2)
b) f(x) = 1/3x³-x; P0(3/6)
|
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen, da ich leider gar keine Ahnung habe, wie ich die Aufgabe angehen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Mi 17.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Funktion f hast du uns nicht verraten.
Wenn es allgemein gemeint ist und du die darunterstehenden Formeln herleiten sollst dann ist die Frage:
kannst du eine Gerade mit bekannter Steigung die durch einen bestimmten Punkt geht aufstellen?
Welche Steigung hat ne Tangente im Pumkt [mm] (x_0,f(x_0)) [/mm] durch welchen Punkt geht sie?
Eine Normale steht senkrecht auf der Tangente, welche Steigung hat sie?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 So 21.02.2010 | | Autor: | Nadine__ |
Die Funktion f ist:
a) f(x)=1/2x²
und
b) f(x)=1/3x³-x
ich muss beide Funktionen berechnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 So 21.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Die Funktion f ist:
>
> a) f(x)=1/2x²
>
> und
>
> b) f(x)=1/3x³-x
>
> ich muss beide Funktionen berechnen.
Hallo,
du brauchst für die Normalen-/Tangentengleichungen jeweils den Anstieg. Dazu benötigst du den Wert der 1. Ableitung an der vorgegebenen Stelle.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 So 21.02.2010 | | Autor: | Nadine__ |
und wie berechne ich diese Werte?
ich steh grad voll auf dem schlauch :S
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 So 21.02.2010 | | Autor: | abakus |
> und wie berechne ich diese Werte?
>
> ich steh grad voll auf dem schlauch :S
Wie lautet die Ableitung von [mm] y=\bruch{1}{2}x^2 [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 So 21.02.2010 | | Autor: | Nadine__ |
ich hab jetzt das gemacht:
[mm] f'(x0)=\limes_{x\rightarrow\x0} [/mm] f(x)-f(xo)/x-x0
f(x)-f(x0)/x-x0)= 0,5x²-0,5x0²/x-x0
= 0,5(x²-x0²)/x-x0
= [mm] 0,5((x-x0)\*(x+x0))/x-x0
[/mm]
= 0,5(x+x0)
[mm] f'(x0)=\limes_{x\rightarrow\x0} [/mm] 0,5(x+x0)=0,5(2x0)
=1x0
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 So 21.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das sieht gut aus.
Was sagt dir das jetzt über die Steigung der Funktion f (und damit auch der Tangente) an der Stelle [mm] x_{0}? [/mm]
Und, durch [mm] y=f(x_{0}) [/mm] hast du ja auch die y-Koordinate vom Punkt [mm] P(x_{0}/f(x_{0})) [/mm] gegeben.
Du suchst jetzt also die Tangente (an P), die ja eine Gerade der Form t(x)=mx+n ist. Du hast mit P ja schon einen Punkt gegeben, der auf t liegt, jetzt überlege mal, was die Ableitung von f an der Stelle [mm] x_{0}, [/mm] also der Wert [mm] f'(x_{0})\stackrel{\text{hier}}{=}0,5x_{0} [/mm] mit der Steigung m der Tangente zu tun hat.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 So 21.02.2010 | | Autor: | Nadine__ |
Steigung der Tagente
in P ist [mm] m=f(2)=1\*2 [/mm] +b
aber was ist in dem Fall das b? muss ich für b einfach 0 einsetzten? oder ganz weg lassen?
würde ich b weglassen käme 2 raus.
y=mx+b
y=2x+b
2=2*(0)+b
weiter komm ich nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 So 21.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es gilt:
[mm] m_{\text{Tangente}}=f'(x_{0}), [/mm] also Kannst du die Tangente t(x)=mx+b auch schreiben als:
[mm] t(x)=f'(x_{0})*x+b
[/mm]
Jetzt kommt der Punkt P ins Spiel, der ja auf t(x) liegen soll, also
[mm] t(x_{0})=f(x_{0})
[/mm]
Also gilt:
[mm] f(x_{0})=f'(x_{0})*x_{0}+b
[/mm]
Und daraus kannst du dir dann das noch fehlende b errechnen.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 So 21.02.2010 | | Autor: | Nadine__ |
Versteh ich nicht ganz.
Den x wert des Punktes P setze ich ja jetzt in "1x0" ein. Wie das funktioniert weiß ich nicht.
b ermittel ich ja dann indem ich in y=mx+b alles einsetze. Das verstehe ich ja noch.
|
|
|
| |
|
> Versteh ich nicht ganz.
> Den x wert des Punktes P setze ich ja jetzt in "1x0" ein.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Was meinst Du mit "1x0" ?
Du willst die Tangente an den Graphen von
f(x) = [mm] 1/2x^2 [/mm] im Punkt [mm] P_0(\red{2}/\green{2}) [/mm] wissen.
Ich habe nun nicht alles studiert, gehe aber davon aus, daß Du bereits die Ableitung (=Steigung der Tangente) im Punkt x=2 ermittelt hast: f'(2)=2.
Damit hat die Tangente die Gleichung y=f'(2)x+b=2x+b.
Da die Tangente durch [mm] P_0 [/mm] gehen soll, muß gelten [mm] \green{2}=2*\red{2}+b, [/mm] und daraus bekommst Du das b.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 So 21.02.2010 | | Autor: | Nadine__ |
danke für die hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 So 21.02.2010 | | Autor: | abakus |
> ich hab jetzt das gemacht:
>
> [mm]f'(x0)=\limes_{x\rightarrow\x0}[/mm] f(x)-f(xo)/x-x0
>
> f(x)-f(x0)/x-x0)= 0,5x²-0,5x0²/x-x0
> = 0,5(x²-x0²)/x-x0
> = [mm]0,5((x-x0)\*(x+x0))/x-x0[/mm]
> = 0,5(x+x0)
> [mm]f'(x0)=\limes_{x\rightarrow\x0}[/mm] 0,5(x+x0)=0,5(2x0)
> =1x0
>
>
Hallo Nadine,
seid ihr tatsächlich noch im Anfangsstadium der Differenzielrechnung, dass ihr jede Ableitung über eine Grenzwertbildung ermittet?!?
Normalerweise lernt man lange vor solchen Normalen- und Tangentenaufgaben kurze Ableiungsregeln, z.B.:
"Die Ableitung von [mm] f(x)=x^n [/mm] ist [mm] f'(x)=n*x^{n-1}"
[/mm]
oder
"Die Ableitung von g(x)=a*f(x) ist g'(x)=a*f'(x)."
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 So 21.02.2010 | | Autor: | Nadine__ |
ja wir haben gerade erst angafangen mit der Differenzialrechnung. Anders haben wir es nicht gelernt.
|
|
|
|
