Tangentenberechnungen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | f(x) [mm] =\bruch{x^2+1}{2x}
[/mm]
a) Untersuche ob es eine tangente an das Bild von F(x) gibt, die die y-Achse im Punkt P (o/3) schneidet.
b) Zeige, dass es an das Bild von f keine ursprungsgerade gibt. |
zu a)
meine lehrerin hat folgende tangente als Lösung an die tafel geschrieben: f(x) [mm] \bruch{x^2-1}{2x^2}+3
[/mm]
Meiner meinung nach kann das ergebnis doch nicht stimmen, denn diesee gleichung is doch keine tangente, außerdem ist die ja nicht mal für den punkt (0/3) definiert, oder irre ich mich?
ich denke mal, dass die tangente f(x)=3 sein müsste, oder?
zu b) hier verstehe ich auch nicht, das was ich bekommen hab..
y=mx+n P(0/0)
y=mx+0
[mm] \bruch{x^2+1}{2x}=mx
[/mm]
und das nach xumgestellt, was dann keine lösung mit sich bringt..
wieso hat meine lehrerin das auf diese weise gemacht? geht das nicht auch so, dass man den punkt P(0/0) in [mm] \bruch{x^2+1}{2x} [/mm] einetzt und da sieht man ja, dass 0 dafür nicht definiert ist..
|
|
| |
|
> f(x) [mm]=\bruch{x^2+1}{2x}[/mm]
>
> a) Untersuche ob es eine tangente an das Bild von F(x)
> gibt, die die y-Achse im Punkt P (o/3) schneidet.
>
> b) Zeige, dass es an das Bild von f keine ursprungsgerade
> gibt.
> zu a)
>
> meine lehrerin hat folgende tangente als Lösung an die
> tafel geschrieben: f(x) [mm]\bruch{x^2-1}{2x^2}+3[/mm]
> Meiner meinung nach kann das ergebnis doch nicht stimmen,
> denn diesee gleichung is doch keine tangente, außerdem ist
> die ja nicht mal für den punkt (0/3) definiert, oder irre
> ich mich?
> ich denke mal, dass die tangente f(x)=3 sein müsste,
> oder?
Das hängt von F(x) ab! Es geht ja um das Integral von f(x), und an dessen Abbild soll die Tangente gelegt werden. Da f(x) die Form 1/x hat, könnte das Integral davon etwas mit ln(x) sein, zwar wäre dafür auch 0 nicht definiert, aber mal sehen ich berechne es einfach mal eben, für die Aufgabe ja egal:
Editor sagt $ [mm] \bruch{1}{4}(x^2+2ln(x)) [/mm] $
Und nun geht es um die Tangente. Es ist eine Tangentengleichung, wenn man als Steigung f(x) nimmt und dann mal x. Allerdings komme ich dann nicht auf die angegebene Gleichung, das sieht mir eher nach der zweiten Ableitung aus bzw f'(x). Außerdem hast du recht, sie wäre nicht für x=0 definiert.
>
> zu b) hier verstehe ich auch nicht, das was ich bekommen
> hab..
>
> y=mx+n P(0/0)
>
> y=mx+0
> [mm]\bruch{x^2+1}{2x}=mx[/mm]
> und das nach xumgestellt, was dann keine lösung mit sich
> bringt..
>
> wieso hat meine lehrerin das auf diese weise gemacht? geht
> das nicht auch so, dass man den punkt P(0/0) in
> [mm]\bruch{x^2+1}{2x}[/mm] einetzt und da sieht man ja, dass 0 dafür
> nicht definiert ist..
In diesem Fall stimmt das nicht, denn die Frage ist ja nicht, ob es einen Schnittpunkt mit der Tangente bei 0 gibt! Die Frage ist, ob eine Ursprungsgerade! (also ohne +n) für f existiert. Da kann f verlaufen, wo es will, die Gerade mx muss diese nur irgendwo berühren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Mo 08.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich vermute, dass du dich mit F(x) nur verschrieben hast und f(x) meinst.
Natürlich ist das f(x) deiner Lehrerin keine Tangente, aber ich vermute, du hast da was etwas falsch abgeschrieben.
was da steht ist die Ableitung von f(x)
[mm] f'(x)=\bruch{x^2-1}{2x^2}
[/mm]
Dann hat die Tangente im noch unbekannten Punkt x1 die Steigung
[mm] m=\bruch{x1^2-1}{2x1^2} [/mm] und da sie durch (0,3) gehen sool die Gleichung:
[mm] t(x)=\bruch{x1^2-1}{2x1^2}*x+3
[/mm]
der Punkt (x1,t(x1) muss auf der Kurve liegen: also [mm] t(x1)=\bruch{x^2+1}{2x}
[/mm]
und [mm] damit:\bruch{x^2+1}{2x}=\bruch{x1^2-1}{2x1^2}*x1+3
[/mm]
multiplizier das mit 2x1, dann x1 ausrechnen.
Zur Kontrolle :
t(x)=-2x+3
zur Tangente von (0,0) aus:
Die Tangente soll durch (0,0) gehen und nicht die Kurve! deshalb hat es keinen Sinn x=0 in f(x) einzustzen.
im Prinzip dasselbe wie oben.
1. y=mx soll Tangente sein.
wieder [mm] m=f'(x1)=\bruch{x1^2-1}{2x1^2}
[/mm]
also [mm] y=\bruch{x1^2-1}{2x1^2}*x
[/mm]
und der Punkt x1,y1 muss auf der Kurve liegen:
[mm] \bruch{x1^2+1}{2x1}=\bruch{x1^2-1}{2x1^2}*x1
[/mm]
Und dafür gibts keine Lösung.
Dass eure Lehrerin zwischen dem x der Variablen, und nem festen Punkt der Kurve keinen Unterschied macht, macht ihre Gleichungen sehr unübersichtlich. Vielleicht fragst du sie mal danach. (statt x1 kann man auch nen anderen namen nehmen, nur eben nicht grad x oder y weil das ja die Variablen sind.)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo
> ich vermute, dass du dich mit F(x) nur verschrieben hast
> und f(x) meinst.
> Natürlich ist das f(x) deiner Lehrerin keine Tangente,
> aber ich vermute, du hast da was etwas falsch
> abgeschrieben.
> was da steht ist die Ableitung von f(x)
> [mm]f'(x)=\bruch{x^2-1}{2x^2}[/mm]
> Dann hat die Tangente im noch unbekannten Punkt x1 die
> Steigung
> [mm]m=\bruch{x1^2-1}{2x1^2}[/mm] und da sie durch (0,3) gehen sool
> die Gleichung:
> [mm]t(x)=\bruch{x1^2-1}{2x1^2}*x+3[/mm]
> der Punkt (x1,t(x1) muss auf der Kurve liegen: also
> [mm]t(x1)=\bruch{x^2+1}{2x}[/mm]
> und [mm]damit:\bruch{x^2+1}{2x}=\bruch{x1^2-1}{2x1^2}*x1+3[/mm]
> multiplizier das mit 2x1, dann x1 ausrechnen.
> Zur Kontrolle :
> t(x)=-2x+3
ich habe versucht deinen gedanken nachzuvollziehen, was mir jedoch nicht gelungen ist..
ich habe die gleichung versucht umzustellen, aber ich komme nicht auf deine tangente.
dann versteh ich ja auch nicht, wie ich diese x1 ausrechnen soll, obwohl noch ein x enthalten ist
|
|
|
| |
|
nach langem überlegen, hab ich mir auch gedacht, dass es doch im prinzio unendlich viele tangenten durch den punkt gehen..
das heißt, man kann doch in diesem fall keine konkrete angabe machen...
|
|
|
| |
|
> nach langem überlegen, hab ich mir auch gedacht, dass
> doch im prinzip unendlich viele tangenten durch den punkt
> gehen..
Um dies zu entscheiden, würde ich dir unbedingt
empfehlen, den Graph von f einmal zu zeichnen
und anzuschauen, falls du das (was ich eigentlich
erwartet hätte) nicht ohnehin schon getan hast !
LG
|
|
|
| |
|
Hallo best_amica,
es gibt im Fall, dass die Tangente durch P(0/3)
gehen soll, (genau) eine Lösung.
Meine Tipps für den Lösungsweg:
Ich schlage dir vor, zuerst die Funktionsgleichung
etwas einfacher zu notieren:
[mm] f(x)=\bruch{1}{2}*(x+\bruch{1}{x})
[/mm]
Damit sparst du dir einmal die Quotientenregel.
Ferner würde ich die Koordinaten des Tangenten-
berührpunktes B z.B. [mm] x_B=u [/mm] und [mm] y_B=v [/mm] nennen.
Für die Steigung [mm] m_t [/mm] der gesuchten Tangente t,
welche durch B und P gehen muss, gelten dann
die Gleichungen:
1.) [mm] m_t=f'(u)
[/mm]
2.) $\ [mm] m_t=\bruch{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\bruch{y_B-y_P}{x_B-x_P}=\bruch{v-3}{u-0}$
[/mm]
Ferner müssen natürlich die Koordinaten des
Punktes B die Funktionsgleichung von f erfüllen,
also $\ v=f(u)$.
Aus den so entstehenden Gleichungen kannst du
$\ u,\ v$ und [mm] m_t [/mm] berechnen und dann die Tangenten-
gleichung aufstellen.
Gruß al-Chw.
|
|
|
| |
|
>
> 1.) [mm]m_t=f'(u)[/mm]
>
> 2.) [mm]\ m_t=\bruch{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\bruch{y_B-y_P}{x_B-x_P}=\bruch{v-3}{u-0}[/mm]
>
wie soll man denn hier weiterrechnen, wenn man hier schon merkt, dass das m nicht definiert ist?
somit hat die tangente schonmal keinen anstieg...
die einzige dazu passende funktion ist f(x)=3, wenn es wirklich nur genau eine lösung geben soll
|
|
|
| |
|
> >
> > 1.) [mm]m_t=f'(u)[/mm]
> >
> > 2.) [mm]\ m_t=\bruch{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\bruch{y_B-y_P}{x_B-x_P}=\bruch{v-3}{u-0}[/mm]
>
> >
> wie soll man denn hier weiterrechnen, wenn man hier schon
> merkt, dass das m nicht definiert ist?
das verstehe ich jetzt nicht !
die Funktion f ist durchaus ableitbar, nur gerade
an der Stelle x=0 (wo sie überhaupt nicht definiert
ist) nicht. Doch dies tut hier gar nichts zur Sache,
denn die gesuchte Tangente soll ja die Kurve nicht
an der Stelle x=0 berühren, sondern in einem
Punkt B(u/v) mit positivem u, wie du sehen
kannst, wenn du die Zeichnung machst.
ein kleiner Anfang:
[mm] f(x)=\bruch{1}{2}*(x+\bruch{1}{x})
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}*(1-\bruch{1}{x^2})
[/mm]
[mm] m_t=f'(u)=\bruch{1}{2}*(1-\bruch{1}{u^2})
[/mm]
[mm] m_t=\bruch{v-3}{u}
[/mm]
[mm] v=f(u)=\bruch{1}{2}*(u+\bruch{1}{u})
[/mm]
Jetzt arbeite einfach einmal mit den letzten drei
Gleichungen weiter, um u herauszufinden !
(Ergebnis: [mm] u=\bruch{1}{3}).
[/mm]
viel Erfolg !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mo 08.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nochmal zu der Tangente durch den Nullpunkt.
Wenn du die Gleichung aus meineem post mit [mm] 1x1^2 [/mm] multiplizierst steht da:
[mm] x1^2-1=x1^2+1 [/mm] so eine Zahl x1 gibt es nicht, erst recht nicht unendlich viele!
du könntest auch folgern 1=-1 und das ist sicher unmöglich.
Die Tangente durch (0,3) dagegen solltest du ausrechnen können, in der Gleichung steht nur noch x1. kein x mehr.
Gruss leduart
|
|
|
|
