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hallo...sry dass ich soviel fragen habe..aber das hier ist erstmal die letzte aufgabe die ich stelle...
ich bin auch ganz dicht an der lösung dran..aberirgendwie fehlt mir de rletzte schritt...wäre sehr dankbar wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte...
also nun die aufgabe:
Die Funktion lautet f(x)= wurzel aus a
Zeigen sie: Die Normalparabel in einem beliebigen Punkt
Q (a/wurzel aus a) schneidet die x-achse im Punkt S (a+0,5/0). Wie kann man die Normale an den Graphen von f(x)=wurzel aus x also konstruieren?
Meine Rechnung:
STeigung der Tangente: [mm] 1/2a^{-1/2} [/mm]
weil wurzel aus a = wurzel ^{1/2} ist
Jetzt hab ich f(x)=wurzel aus a mit der Tangentengleichung gleichgesetzt um b rauszukriegen:
[mm] \wurzel{a}=1/2a^{-1/2} *a^1 [/mm] +b
[mm] a^{1/2}=1/2a^{-0,5+1} [/mm] +b
[mm] a^{1/2}=1/2a^{0,5} [/mm] +b [mm] :a^0,5
[/mm]
[mm] a^0,5-0,5=1/2 [/mm] +b
[mm] a^0=0,5 [/mm] +b
1 =0,5 +b -0,5
b=0,5
das Ergebnis wollt ich jetzt in die Tangentengleichung einsetzen um x rauszubekommen...doch leider komm ich da nicht weiter...
Tangentengleichung:
[mm] t(x)=1/2a^{-1/2}*a+b
[/mm]
y ist ja null wie aus der aufgabe deutlich wird...
also dacht ich:
[mm] 0=1/2a^{-1/2}*a+0,5
[/mm]
aber beim weiterrechnen komm ich leider nicht auf
x= a+0,5
könnt ihr mir vielleicht helfen??
Bitte..
wäre wirklich sehr dankbar
Black.Ice
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Melanie,
du kennst doch sicher die Punkt-Steigungsform der Geraden, die ist bei Tangenten nämlich sehr nützlich.
Deine Funktion ist ja [mm] $f(x)=\sqrt{x}$, [/mm] der Berührpunkt ist $B(a|f(a))$. Du kannst deine Normale in Punktsteigungsform aufschreiben:
[mm] $t_a(x)=m\cdot (x-x_0)+y_0$
[/mm]
Wie musst du $m$, [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $y_0$ [/mm] wählen, damit es sich tatsächlich um die Normale handelt.
Wenn du diese hast, musst du ja nur noch zeigen, dass [mm] $t_a(x)=0 \gdw x=a+\frac{1}{2}$ [/mm] gilt.
Dann musst du ja noch erklären, wie man damit die Normale schnell konstruieren kann.
Gruß Max
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Sorry aber ich habe noch nie was mit der Punktsteigungsform gemacht...
was ist der unterschied zwischen x und x0 ?? und was soll das ersetzen?
Könnten Sie mir sagen ob meine Tangentengleichung richtig war und wo überhaupt mein Denkfehler liegt sofern es einen gibt.?? :-( ..und dann wärs auch noch wirklich nett wenn sie mir die rechnung aufschreiben könnten, wie man jetzt letztendlich auf x=a+o,5 kommt..ich sitze an der aufgabe schon knapp 3 stunden ..und bin langsam nur noch am verzweifeln...
Bitte es ist wirklich wichtig...
(muss das morgen abgeben) ...
wäre echt supernett
in hope
Black-Ice
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Hallo,
> Sorry aber ich habe noch nie was mit der Punktsteigungsform
> gemacht...
> was ist der unterschied zwischen x und x0 ?? und was soll
> das ersetzen?
x ist die x-Koordinate eines beliebigen Punktes auf der Geraden, während [mm]x_{0}[/mm] die x-Koordinate eines fest vorgebenen Punktes ist.
Hier also:
[mm]\begin{gathered}
\frac{{y\; - \;f\left( a \right)}}
{{x\; - \;a}}\; = \;f'(a) \hfill \\
\Rightarrow \;y\; = \;f'(a)\;\left( {x\; - \;a} \right)\; + \;f(a) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Das ist die Gleichung der Tangente.
Um zu der Normalen zu kommen, muß man wissen, daß die Normale senkrecht auf der Tangente steht, demnach gilt für die Steigung der Normalen:
[mm]m_{T} \;m_{N} \; = \; - 1\; \Rightarrow \;m_{N} \; = \;\frac{{ - 1}}
{{m_{T} }}[/mm].
Es folgt mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form die Gleichung der Normalen:
[mm]\begin{gathered}
\frac{{y\; - \;f\left( a \right)}}
{{x\; - \;a}}\; = \;\frac{{ - 1}}
{{f'(a)}} \hfill \\
\Rightarrow \;y\; = \;\frac{{ - 1}}
{{f'(a)}}\;\left( {x\; - \;a} \right)\; + \;f(a) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Der Schnittpunkt mit der x-Achse (y = 0) ergibt sich dann zu
[mm]x\; = \;a\; + \;f(a)\;f'(a)[/mm]
Werden hier die Werte f(a) bzw. f'(a) eingesetzt, so ergibt sich
[mm]x\; = \;a\; + \;\sqrt a \;\frac{1}
{{2\sqrt a }}\; = \;a\; + \;\frac{1}
{2}[/mm]
> Könnten Sie mir sagen ob meine Tangentengleichung richtig
> war und wo überhaupt mein Denkfehler liegt sofern es einen
> gibt.??
Tja, die Tangentengleichung an sich stimmt, nur dass Du den Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse bestimmt hast.
Gruß
MathePower
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