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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Fr 09.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | Wo schneidet die Tangentialebene [mm] z=F(x,y)=(x+y)*e^{(x-y)} [/mm] in P (1;1,f(1;1)) die z -Achse?
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Soweit ich weis stelle ich erstmal die Partiellen Ableitungen auf.
[mm] z_x [/mm] = [mm] e^{(x-y)} +(x+y)*e^{(x-y)}
[/mm]
[mm] z_y [/mm] = [mm] e^{(x-y)} +(x+y)*e^{(x-y)}
[/mm]
Ok , müsste ich jetzt nicht den Kurvenanstieg in einem beliebigen Punkt mit y'= [mm] -\bruch{z_x}{z_y} [/mm] berchenen ?
Das wäre dann -1.
Ich bin verwirrt :)
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> Wo schneidet die Tangentialebene [mm]z=F(x,y)=(x+y)*e^{(x-y)}[/mm]
> in P (1;1,f(1;1)) die z -Achse?
>
> Soweit ich weis stelle ich erstmal die Partiellen
> Ableitungen auf.
>
> [mm]z_x[/mm] = [mm]e^{(x-y)} +(x+y)*e^{(x-y)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]z_y[/mm] = [mm]e^{(x-y)} +(x+y)*e^{(x-y)}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier hast du eine innere Ableitung -1 vergessen !
(Kettenregel)
Es empfiehlt sich dann, bei [mm] z_x [/mm] und bei [mm] z_y [/mm] den Faktor
[mm] e^{x-y} [/mm] auszuklammern.
> Ok , müsste ich jetzt nicht den Kurvenanstieg in einem
> beliebigen Punkt mit y'= [mm]-\bruch{z_x}{z_y}[/mm] berchenen ?
> Das wäre dann -1.
Was meinst du mit "Kurvenanstieg" ?
Wir haben es mit einer Fläche im [mm] \IR^3 [/mm] und einer ihrer
Tangentialebenen zu tun.
Du kannst für die Tangentialebene z.B. eine Parameter-
gleichung aufstellen.
Andere Möglichkeit: schreibe die Flächengleichung in
der Form G(x,y,z)=F(x-y)-z=0 . Dann ist [mm] \overrightarrow{grad}\,\,G [/mm] ,
im Punkt P berechnet, ein Normalenvektor für die
Tangentialebene.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Fr 09.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
Ok
[mm] z_x=e^{(x-y)} +(x+y)\cdot{}e^{(x-y)}
[/mm]
[mm] =e^{(x-y)}(1+(x+y))
[/mm]
[mm] z_y=e^{(x-y)}-(x+y)e^{(x-y)}
[/mm]
[mm] =e^{(x-y)}(1-(x+y))
[/mm]
Jetzt habe ich zu weiteren Berechnung noch folgende Formel gefunden
[mm] z-z_0=f_x(x_0;y_0)*(x-x_0)+f_x(x_0;y_0)*(y-y_0)
[/mm]
Kann ich mit dieser Formel weiter machen ? Wobei ich hier wieder das Problem Habe: was ist [mm] z_0. [/mm]
Sorry das ich mich hier etwas dumm anstellen aber das ist für mich wirklich schwer
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> Ok
>
> [mm]z_x=e^{(x-y)} +(x+y)\cdot{}e^{(x-y)}[/mm]
> [mm]=e^{(x-y)}(1+(x+y))[/mm]
> [mm]z_y=e^{(x-y)}-(x+y)e^{(x-y)}[/mm]
> [mm]=e^{(x-y)}(1-(x+y))[/mm]
>
> Jetzt habe ich zu weiteren Berechnung noch folgende Formel
> gefunden
>
> [mm]z-z_0=f_x(x_0;y_0)*(x-x_0)+f_x(x_0;y_0)*(y-y_0)[/mm]
>
> Kann ich mit dieser Formel weiter machen ?
Klar, das geht natürlich auch. Ist etwa analog zur
Parameterdarstellung.
> Wobei ich hier
> wieder das Problem Habe: was ist [mm]z_0.[/mm]
[mm] z_0=f(x_0,y_0), [/mm] also die z-Koordinate des Punktes P.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Fr 09.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
> [mm]z_0=f(x_0,y_0),[/mm] also die z-Koordinate des Punktes P.
Das dachte ich mir schon. Aber dieser Punkt wird doch gesucht, wenn ich das Richtig verstehe.
müsste die Gleichung so ähnlich aussehen.
wenn ich den Punkt 1;1 in [mm] z_y [/mm] und [mm] z_x [/mm] einsetze bekomme ich für [mm] z_y=-1 [/mm] und [mm] z_x=3. [/mm] dann müsste die Gleichung ungefähr so aussehen
[mm] z-z_0=-1(x-1)+3(y-1)
[/mm]
>
Aber wie komme ich zu [mm] z_0? [/mm] In meinem Biuch steht das leider auch nicht explizit da.
setze ich dann einfach z ein und löse nach [mm] z_0 [/mm] auf
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> > [mm]z_0=f(x_0,y_0),[/mm] also die z-Koordinate des Punktes P.
>
> Das dachte ich mir schon. Aber dieser Punkt wird doch
> gesucht, wenn ich das Richtig verstehe.
> müsste die Gleichung so ähnlich aussehen.
gesucht ist der punkt, an dem die tangentialebene die du gerade noch berechnest, die z-achse schneidet. und die ebene berechnest du ja gerade erst:
>
> wenn ich den Punkt 1;1 in [mm]z_y[/mm] und [mm]z_x[/mm] einsetze bekomme ich
> für [mm]z_y=-1[/mm] und [mm]z_x=3.[/mm] dann müsste die Gleichung ungefähr
> so aussehen
>
> [mm]z-z_0=-1(x-1)+3(y-1)[/mm]
hier hast du [mm] z_x [/mm] zu [mm] (y-y_0) [/mm] gepackt, das ist falsch, da musst du nochmal schauen
> >
> Aber wie komme ich zu [mm]z_0?[/mm] In meinem Biuch steht das leider
> auch nicht explizit da.
einfach den punkt 1;1 in z einsetzen
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Fr 09.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
Also wäre [mm] z_0 [/mm] = [mm] (1+1)*e^{(1-1)} [/mm] = 2
> > [mm]z-z_0=-1(x-1)+3(y-1)[/mm]
> hier hast du [mm]z_x[/mm] zu [mm](y-y_0)[/mm] gepackt, das ist falsch, da
> musst du nochmal schauen
Da stehe ich jetzt wieder aufm Schlauch.
ich dachte [mm] f_x(x;y)= e^{(x-y)}(1+(x+y)) [/mm] für 1;1 ist 3
und [mm] f_y(x;y)=e^{(x-y)}(1-(x-y)) [/mm] für 1;1 ist -1
wenn das nicht so ist weiß ich leider nicht weiter.
Ansonsten wäre die Gleichung ja
z-2=-x+3y-2
z=-x+3y
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> Also wäre [mm]z_0[/mm] = [mm](1+1)*e^{(1-1)}[/mm] = 2
>
>
> > > [mm]z-z_0=-1(x-1)+3(y-1)[/mm]
> > hier hast du [mm]z_x[/mm] zu [mm](y-y_0)[/mm] gepackt, das ist falsch, da
> > musst du nochmal schauen
>
> Da stehe ich jetzt wieder aufm Schlauch.
> ich dachte [mm]f_x(x;y)= e^{(x-y)}(1+(x+y))[/mm] für 1;1 ist 3
> und [mm]f_y(x;y)=e^{(x-y)}(1-(x-y))[/mm] für 1;1 ist -1
richtig, und die formel lautete:
$ [mm] z-z_0=f_x(x_0;y_0)\cdot{}(x-x_0)+f_x(x_0;y_0)\cdot{}(y-y_0) [/mm] $
und hier hast du zwar [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] richtig berechnet, aber die zugehörigen punkte [mm] (y-y_0) [/mm] und [mm] (x-x_0) [/mm] vertauscht!
>
> wenn das nicht so ist weiß ich leider nicht weiter.
>
> Ansonsten wäre die Gleichung ja
> z-2=-x+3y-2
> z=-x+3y
mit obigen hinweisen korrigieren, dann passts
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Fr 09.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
Ach so :)
Danke dir /euch.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Di 20.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
Jetzt muss ich doch nochmal fragen.
ich habe jetzt für z-2=3*(x-1)-1(y-1)
z=3x-y errechnet
Aber wie genau bestimme ich jetzt den Punkt an dem die z-Achse geschnitten wird.
setzte ich für x=y=0 ? oder geht das irgendwie anders
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Hallo marc1001,
> Jetzt muss ich doch nochmal fragen.
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> ich habe jetzt für z-2=3*(x-1)-1(y-1)
> z=3x-y errechnet
>
> Aber wie genau bestimme ich jetzt den Punkt an dem die
> z-Achse geschnitten wird.
> setzte ich für x=y=0 ? oder geht das irgendwie anders
>
Schnitt mit der z-Achse heisst x=y=0.
Gruss
MathePower
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