Tangentengleichung Hyperbel < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:42 Di 12.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Hyperbel [mm] \bruch{x^2}{a^2}-\bruch{y^2}{b^2}=1
[/mm]
Wie lauten die Gleichungen der Asymptoten? Sei [mm] P=(x_{0},y_{0}) [/mm] ein Punkt auf der Hyperbel. Wie lautet die Gleichung der Tangente an P? Seien [mm] P_{1} [/mm] und [mm] P_{2} [/mm] die Schnittpunkte von T mit den Asymptoten. Zeigen Sie, dass P die Strecke [mm] P_{1}P_{2} [/mm] halbiert. Zeigen Sie weiter, dass der Flaecheninhalt des Dreiecks, das von T und den Asymptoten gebildet wird, unabhaengig von der Wahl von P ist. |
Guten Morgen,
ich lerne gerade für Geometrie und komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Mein Ansatz:
Die Gleichung der Asymptote berechne ich, ındem ich die Hyperbel gleichung nach y umstelle:
y= [mm] \pm \bruch{b}{a}*x
[/mm]
Gleichung der Tangente an P:
Für den rechten Ast der Asymptote gilt: y= [mm] \bruch{b}{a}*\wurzel{x-a^2}
[/mm]
Für die Tangente gilt: y=mx+n
um die Steigung im Punkt P zu bestimmen, leite ich y ab und erhalte: [mm] y'=\bruch{b}{a}*\bruch{x_{0}}{\wurzel{x_{0}-a^2}}
[/mm]
Um den y-Achsenabschnitt in Punkt P zu berechnen setze ich
[mm] mx+n=\bruch{b}{a}*\wurzel{x_{0}-a^2}
[/mm]
n= [mm] \bruch{b}{a}*\wurzel{x_{0}-a^2}-\bruch{b}{a}*\bruch{x_{0}}{\wurzel{x_{0}-a^2}}*x
[/mm]
n= [mm] \bruch{b}{a}(\bruch{-a^2}{\wurzel{x_{0}-a^2}}*x)
[/mm]
Die Gleichung der Tangente ist somit:
[mm] y=\bruch{b}{a}*(\bruch{x_0}{\wurzel{x_{0}-a^2}}*x-\bruch{a^2}{\wurzel{x_0-a^2}}*x)
[/mm]
laut Lösung jedoch:
[mm] y=\bruch{b}{a}\bruch{x_0}{\wurzel{x_0^2-a^2}}*(x-\bruch{a^2}{x_0})
[/mm]
Würde mich freuen, wenn jemand meinen Fehler sagen könnte.
Danke im Voraus.
LG Laura
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Hallo,
> Gegeben sei eine Hyperbel
> [mm]\bruch{x^2}{a^2}-\bruch{y^2}{b^2}=1[/mm]
> Wie lauten die Gleichungen der Asymptoten? Sei
> [mm]P=(x_{0},y_{0})[/mm] ein Punkt auf der Hyperbel. Wie lautet die
> Gleichung der Tangente an P? Seien [mm]P_{1}[/mm] und [mm]P_{2}[/mm] die
> Schnittpunkte von T mit den Asymptoten. Zeigen Sie, dass P
> die Strecke [mm]P_{1}P_{2}[/mm] halbiert. Zeigen Sie weiter, dass
> der Flaecheninhalt des Dreiecks, das von T und den
> Asymptoten gebildet wird, unabhaengig von der Wahl von P
> ist.
>
> Guten Morgen,
>
> ich lerne gerade für Geometrie und komme bei dieser
> Aufgabe nicht weiter. Mein Ansatz:
>
> Die Gleichung der Asymptote berechne ich, ındem ich die
> Hyperbel gleichung nach y umstelle:
>
> y= [mm]\pm \bruch{b}{a}*x[/mm]
>
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gleichung der Tangente an P:
>
> Für den rechten Ast der Asymptote gilt: y=
> [mm]\bruch{b}{a}*\wurzel{x-a^2}[/mm]
>
Hier stecken zwei Fehler, weil dir nämlich das Quadrat am x sowie das Plus-Minus-Zeichen verloren gegangen ist (auch wenn du nur den rechten Ast betrachtest, so verläuft dieser doch ober- und unterhalb der x-Achse). Das mit dem [mm] x^2 [/mm] könnte ein Tippfehler sein, da du nämlich offensichtlich nichtsdestotrotz richtig abgeleitet hast.
> Für die Tangente gilt: y=mx+n
>
> um die Steigung im Punkt P zu bestimmen, leite ich y ab und
> erhalte: [mm]y'=\bruch{b}{a}*\bruch{x_{0}}{\wurzel{x_{0}-a^2}}[/mm]
>
> Um den y-Achsenabschnitt in Punkt P zu berechnen setze ich
>
> [mm]mx+n=\bruch{b}{a}*\wurzel{x_{0}-a^2}[/mm]
>
> n=
> [mm]\bruch{b}{a}*\wurzel{x_{0}-a^2}-\bruch{b}{a}*\bruch{x_{0}}{\wurzel{x_{0}-a^2}}*x[/mm]
>
Hier ensteht der Fehler: es müsste ganz am Ende auch [mm] x_0 [/mm] heißen und nicht x.
>
> n= [mm]\bruch{b}{a}(\bruch{-a^2}{\wurzel{x_{0}-a^2}}*x)[/mm]
>
> Die Gleichung der Tangente ist somit:
>
> [mm]y=\bruch{b}{a}*(\bruch{x_0}{\wurzel{x_{0}-a^2}}*x-\bruch{a^2}{\wurzel{x_0-a^2}}*x)[/mm]
>
> laut Lösung jedoch:
>
> [mm]y=\bruch{b}{a}\bruch{x_0}{\wurzel{x_0^2-a^2}}*(x-\bruch{a^2}{x_0})[/mm]
>
> Würde mich freuen, wenn jemand meinen Fehler sagen
> könnte.
>
Ich würde hier an deiner Stelle mit der durch das Ableiten erhaltenen Steigung mit Hilfe der Punkt-Steigungsform weiterrechnen, das geht einfacher. Ansonsten käme ja auch implizite Diffferentiation in Frage, siehe dazu ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Di 12.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
Hallo Diophant,
danke für die Korrektur und den Tipp!
Die Punktseigungsform lautet: [mm] y-y_1=m(x-x_1)
[/mm]
Die Gleichung der Tangente lautet dann also [mm] y=m(x-x_1)+y_1
[/mm]
also in meinem Fall:
[mm] y-y_0=\bruch{b}{a}*\bruch{x_0}{\wurzel{x_0-a^2}}(x-x_0)
[/mm]
[mm] \bruch{b}{a}*\bruch{x_0}{\wurzel{x_0-a^2}}(x-x_0)+y_0
[/mm]
[mm] =\bruch{b}{a}*\bruch{x_0*x-x_0^2}{\wurzel{x_0-a^2}}+y_0
[/mm]
aber das ist auch nicht die Tangentengleichung aus der Lösung. Entweder muss ich hier noch etwas umformen oder aber ich mache wieder etwas falsch :-S
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Hallo,
> danke für die Korrektur und den Tipp!
>
> Die Punktseigungsform lautet: [mm]y-y_1=m(x-x_1)[/mm]
>
> Die Gleichung der Tangente lautet dann also [mm]y=m(x-x_1)+y_1[/mm]
>
>
> also in meinem Fall:
>
> [mm]y-y_0=\bruch{b}{a}*\bruch{x_0}{\wurzel{x_0-a^2}}(x-x_0)[/mm]
>
> [mm]\bruch{b}{a}*\bruch{x_0}{\wurzel{x_0-a^2}}(x-x_0)+y_0[/mm]
>
> [mm]=\bruch{b}{a}*\bruch{x_0*x-x_0^2}{\wurzel{x_0-a^2}}+y_0[/mm]
>
>
> aber das ist auch nicht die Tangentengleichung aus der
> Lösung. Entweder muss ich hier noch etwas umformen oder
> aber ich mache wieder etwas falsch :-S
Nach wie vor fehlt das Quadrat am [mm] x_0 [/mm] in der Wurzel. Und dann musst du natürlich
[mm] y_0=\pm\bruch{b}{a}\wurzel{x_0^2-a^2}
[/mm]
setzen und verwenden.
PS: sollt ihr das eigentlich per Ableitung rechnen? Es gibt ja nämlich auch noch den klassischen Weg über die algebraische Vielfachheit. Das macht zwar die Rechnung auch nicht gerade einfacher, ich frage hier nur interessehalber.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Di 12.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
Hallo nochmal,
ich habe jetzt die selbe Tangentengleichung (dank deiner Hilfe) wie in der Lösung rausbekommen. Also
[mm] y_T=\bruch{b}{a}(\bruch{x_0*x^2-a^2}{\wurzel{x_0^2-a^2}}=\bruch{b}{a}\bruch{x_0}{\wurzel{x_0^2-a^2}}(x-\bruch{a^2}{x_0})
[/mm]
Zu deiner Frage mit der Ableitung: nein, dass ist kein muss, aber mir ist nur diese Idee eingefallen.
Jz soll ich zeigen, das P die SP [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] halbiert. Hierfür muss ich natürlich erst mal die SP [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] bestimmen.
Laut Lösung gilt:
[mm] P_1=(x,y)=\bruch{ab}{x_0*b-y_0*a}(a,b) [/mm] (ist mir zwar peinlich, aber was soll das mit dem (a,b) sein :-S)
[mm] P_2=(x,y)=\bruch{ab}{x_0*b+y_0*a}(a,-b)
[/mm]
Leider habe ich keine Ahnung, wie man darauf kommt.
Mein Ansatz:
Die Asymptote: [mm] y=\pm x*\bruch{b}{a}
[/mm]
Die Tangente an einer Hyperbel hat die Form:
[mm] \bruch{x_0x}{a^2}-\bruch{y*y_0}{b^2}=1
[/mm]
SP mit der Asymptote [mm] y=x*\bruch{b}{a} [/mm] (den negativen Teil würde ich dann seperat für den zweiten SP verwenden):
[mm] \bruch{x_0x}{a^2}-\bruch{x*y_0}{ab}=1
[/mm]
aber weiter komme ich leider nicht...ich wollte nach x und y umformen, aber ich habe ja kein y mehr in der Gleichung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Mi 13.08.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Bezeichnungen sind nicht klar. was ist SP, P, Pq und P2?
richtig ist: sie Tangente halbiert dien Winkel zwischen den Brennstrahlen, meinst du das?
willst du es mit Vektoren zeigen, oder geometrisch?
dann mach erst mal ne Zeichnung zu der Behauptung.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
SP sollte die Abkürzung für Schnittpunkt sein. Alles andere stammt aus der Aufgabenstellung: P= Schnittpunkt der Hyperbel mit der Tangente. [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] sind die Schnittpunkte der Asymptoten mit der Tangente.
Die Gleichung der Tangente an der Hyperbel habe ich bereits aufgestellt.
Nun ist zu zeigen:
Seien [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] die Schnittpunkte von T mit den Asymptoten. Zeigen Sie, dass P die Strecke halbiert.
D.h. ich muss erst erst die Schnittpunkte mit den Asymptoten bestimmen.
Laut Lösung weiss ich auch was rauskommen soll:
> [mm]P_1=(x,y)=\bruch{ab}{x_0*b-y_0*a}(a,b)[/mm] (ist mir zwar
> peinlich, aber was soll das mit dem (a,b) sein :-S)
>
> [mm]P_2=(x,y)=\bruch{ab}{x_0*b+y_0*a}(a,-b)[/mm]
>
Leider aber nicht wie. Mein Ansatz waere:
> Die Tangente an einer Hyperbel hat die Form:
>
> [mm]\bruch{x_0x}{a^2}-\bruch{y*y_0}{b^2}=1[/mm]
>
> SP mit der Asymptote [mm]y=x*\bruch{b}{a}[/mm] (den negativen Teil
> würde ich dann seperat für den zweiten SP verwenden):
>
> [mm]\bruch{x_0x}{a^2}-\bruch{x*y_0}{ab}=1[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Mi 13.08.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
(a,b) ist die Darstellung eines Punktes, r*(a,b) ist für jedes r ein Punkt auf der Assymptote. also [mm] x_{P_1}=r*a [/mm] ; [mm] y_{P_1}=r*b
[/mm]
und du kannst das ausrechnen, wie du geplant hast, bzw r so bestimmen, dass r*(a,b) auf der Tangente liegt.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Do 14.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
Hallo nochmal,
also ich versuche jetzt seid gestern vergaeblich darauf zu kommen, wie man von
[mm] \bruch{x_0x}{a^2}-\bruch{x*y_0}{ab}=1 [/mm] entnehmen kann, dass
[mm] P_1=(x,y)=\bruch{ab}{x_0*b-y_0*a}(a,b)
[/mm]
> (a,b) ist die Darstellung eines Punktes, r*(a,b) ist für
> jedes r ein Punkt auf der Assymptote. also [mm]x_{P_1}=r*a[/mm] ;
> [mm]y_{P_1}=r*b[/mm]
> und du kannst das ausrechnen, wie du geplant hast, bzw r
> so bestimmen, dass r*(a,b) auf der Tangente liegt.
Mein plan war, [mm] \bruch{x_0x}{a^2}-\bruch{x*y_0}{ab}=1 [/mm] nach x umzuformen:
[mm] x*(\bruch{x_0}{a^2}-\bruch{y_0}{ab})=1
[/mm]
[mm] \gdw x*(\bruch{x_0*b}{a^2*b}-\bruch{ay_0}{a^2b})=1
[/mm]
[mm] \gdw x*(\bruch{x_0*b-a*y_0}{a^2*b})=1
[/mm]
[mm] \gdw x=\bruch{a^2*b}{x_0*b-a*y_0}
[/mm]
Wenn das mein r sein soll muss es laut Loesung jedoch a im Zaehler sein und nicht [mm] a^2
[/mm]
LG Laura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Do 14.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
Ok die frage hat sich geklärt. Das ist ja genau das, was die für [mm] P_1 [/mm] raus haben. Ich kannte nur diese Art von Darstellung r*(a, b) gar nicht und habs nicht verstanden. Jetzt ist es aber klar.
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Hallo Laura
> Die Gleichung der Asymptote berechne ich, indem ich die
> Hyperbelgleichung nach y umstelle: ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> y= [mm]\pm \bruch{b}{a}*x[/mm]
das stimmt zwar, aber das hast du doch nicht einfach durch
"Umstellen der Hyperbelgleichung" erhalten !
> Gleichung der Tangente an P:
> Für den rechten Ast der Asymptote gilt:
> [mm] y\ =\ \bruch{b}{a}*\wurzel{x-a^2}[/mm]
Auch hier eine Verwechslung: du meist hier nicht den
rechten Ast der Asymptote, sondern denjenigen Ast
der Hyperbel, der im ersten Quadranten des
Koordinatensystems (also "rechts oben") liegt.
Zudem fehlt bei dem x unter der Wurzel der Exponent 2,
wie Diophant schon gemeldet hat.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Laura87 |
Danke für deine Korrekturen.
ja, du hast recht...die Gleichung der Asymptote habe ich nicht nur durch das umstellen herausbekommen. Ich habe mir den Wert unter der wurzel angeschaut. für x gegen unendlich strebt dieser gegen 1. Das sollte ich natürlich auch so dazuschreiben. Da ich da keine Schwierigkeiten hatte, habe ich mich kurz gehalten und dabei leider was wesentliches vergessen, bzw. etwas falsches hingeschrieben.
und ja, ich wollte rechter oberer Ast schreiben.
Vielen dank! Über Kommentare bin ich sehr erfreut 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 Mi 13.08.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
die allgemeine Tangentengleichung im Punkt [mm] (x_t,y_t) [/mm] lautet: [mm] x*x_t/a^2-y*y_t/b^2=1
[/mm]
das ist einfacher als deine Ableitungsmethode!.
Die Begründung kann man mit Ableiten machen:
[mm] x^2/a^2-y^2/b^2=1
[/mm]
ableiten: [mm] 2x/a^2-2y*y'/b^2=0 [/mm] and er Stelle [mm] (x_t,y_t) [/mm] einsetzen und
[mm] x_t^2/a^2-y_t^2/b^2=1 [/mm] verwenden
oder geometrisch argumentieren:
setzt man in [mm] x*x_t/a^2-y*y_t/b^2=1 [/mm] einen Punkt (x,y) [mm] \not=(x_t,y_t [/mm] ein liegt der Punkt ausserhalb der Hyperbel, also ist es eine Tangente.
Gruß leduart
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