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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Do 07.05.2009 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | Gegeben ist die Fläche F: [mm] x^{2}+\bruch{1}{8} [/mm] * [mm] y^{2}+z^{2}=1
[/mm]
Wie muss man [mm] P_{0}(x_{0}, z_{0}, z_{0}) [/mm] im 1. Oktanten wählen, damit die Summe der Achsenabschnitte von e möglichst klein wird |
Hallo,
das zuvor berechnete Tangentialebene ist:
[mm] (x-x_{0})*2*x_{0}+(y-y_{0})*\bruch{1}{4}*y_{0}+(z-z_{0})*2*z_{0}=0
[/mm]
Der 1. Oktant sollte der sein, bei dem alle Variablen positiv sind (also rechts hinten) Die Frage ist also, wie man x,y,z wählen muss, dass es möglichst wenige Achsenschnittpunkte gibt ?
Ich würde dann eine Variable z.B. x frei wählbar (aber positiv) lassen, und y,z =0 setzen. Ist das Vorgehen richtig ?
DANKE
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> Gegeben ist die Fläche F: [mm]x^{2}+\bruch{1}{8}*y^{2}+z^{2}=1[/mm]
>
> Wie muss man [mm]P_{0}(x_{0}, z_{0}, z_{0})[/mm] im 1. Oktanten
> wählen, damit die Summe der Achsenabschnitte von T
> möglichst klein wird
> Hallo,
> die zuvor berechnete Tangentialebene ist:
>
> [mm](x-x_{0})*2*x_{0}+(y-y_{0})*\bruch{1}{4}*y_{0}+(z-z_{0})*2*z_{0}=0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Der 1. Oktant sollte der sein, bei dem alle Variablen
> positiv sind (also rechts hinten) Die Frage ist also, wie
> man x,y,z wählen muss, dass es möglichst wenige
> Achsenschnittpunkte gibt ? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Es soll nicht die Anzahl der Achsenschnittpunkte,
sondern die Summe der Achsenabschnitte minimal werden !
> Ich würde dann eine Variable z.B. x frei wählbar (aber
> positiv) lassen, und y,z =0 setzen. Ist das Vorgehen > richtig ?
Hallo Tobus,
Die Tangentialebene, nennen wir sie T, wird drei
Achsenschnittpunkte A(a/0/0), B(0/b/0) und C(0/0/c)
mit positiven a,b,c haben. Deren Summe S=a+b+c soll
minimal werden.
Jetzt kann man zuerst die Achsenabschnitte aus der
Gleichung von T gewinnen. Zum Beispiel muss, weil
[mm] A\in{T} [/mm] liegt, gelten:
[mm](a-x_o)*2*x_{o}+(0-y_{o})*\bruch{1}{4}*y_{o}+(0-z_{o})*2*z_{o}=0[/mm]
Nach a aufgelöst:
$\ [mm] a=\bruch{{x_o}^2+\bruch{1}{8}\,{y_o}^2+{z_o}^2}{x_o}$
[/mm]
Ebenso kann man b und c und dann die Summe S durch
[mm] x_o\,, y_o [/mm] und [mm] z_o [/mm] ausdrücken. Nebenbedingung ist, dass
[mm] (x_o/y_o/z_o) [/mm] die Gleichung von F erfüllen muss.
Allerdings hat man dann immer noch zwei Variablen
und hat damit ein ebensolches Extremwertproblem,
bei dem man die partiellen Ableitungen heranziehen
muss. Das sieht nach ziemlich viel Arbeit aus ...
Ich würde vorschlagen, [mm] (x_o/y_o/z_o) [/mm] in (u/v/w)
umzutaufen, um die Rechnungen ein wenig über-
sichtlicher zu gestalten.
Noch eine Bemerkung zur Symmetrie: bei der Fläche
F handelt es sich um ein Rotationsellipsoid; die
y-Achse ist Rotationsachse. Daraus lässt sich wohl
schliessen, dass a=c und auch [mm] x_o=z_o [/mm] sein muss.
Damit würde sich die Anzahl der Unbekannten um
1 verringern, und man hat doch nur noch eine
"gewöhnliche" Extremwertaufgabe mit einer
Unbekannten !
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Do 07.05.2009 | | Autor: | Tobus |
Hallo,
danke schonmal für deine Antwort, jetzt ist schon alles etwas anschaulicher geworden.
Ich habe also weiter a, b, c berechnet, sowie S=a+b+c mit z=x und bekomme:
[mm] S=\bruch{(4*x+y)*(16*x^{2}+y^{2})}{4*x*y} [/mm] da ich mit dem u,v,w durcheinander gekommen bin, hab ich immer den index weg gelassen.
Bildet das jetzt meine Extremwertaufgabe und ich muss von S das Minimum bestimmen ?
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> Hallo,
> danke schonmal für deine Antwort, jetzt ist schon alles
> etwas anschaulicher geworden.
>
> Ich habe also weiter a, b, c berechnet, sowie S=a+b+c mit
> z=x und bekomme:
>
> [mm]S=\bruch{(4*x+y)*(16*x^{2}+y^{2})}{4*x*y}[/mm] da ich mit dem
> u,v,w durcheinander gekommen bin, hab ich immer den index
> weg gelassen.
>
> Bildet das jetzt meine Extremwertaufgabe und ich muss von S
> das Minimum bestimmen ?
Ja, und zwar mit der Nebenbedingung [mm] 2x^2+\bruch{1}{8}\,y^2=1
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Do 07.05.2009 | | Autor: | Tobus |
Ich weiß nicht ob ich ein Denkfehler hab, aber muss ich es dann nicht "einfach" so rechnen:
[mm] 2x^2+\bruch{1}{8}\,y^2=1 [/mm]
-->
[mm] y_{1}=2* \wurzel{-2(2*x^{2}-1}
[/mm]
[mm] y_{2}=-2* \wurzel{-2(2*x^{2}-1}
[/mm]
also setze ich ein:
[mm] S_{1}=\bruch{2*\wurzel{2}}{\wurzel{1-2*x^{2}}} [/mm] + [mm] \bruch{2}{x}
[/mm]
abgeleitet und nach x aufgelöst ergibt [mm] x_{1}=0,5
[/mm]
und
[mm] S_{2}=\bruch{2}{x} [/mm] - [mm] \bruch{2*\wurzel{2}}{\wurzel{1-2*x^{2}}}
[/mm]
abgeleitet und nach x aufgelöst ergibt [mm] x_{2}=-0,5
[/mm]
Geplottet bzw ausgerechnet habe ich ein Minimum bei [mm] x_{1}.
[/mm]
da x=z
[mm] P_{0} [/mm] = (0,5, [mm] y_{0}, [/mm] 0,5)
Ist das soweit richtig ? Was ist mit [mm] y_{0} [/mm] ?
Einfach die Nebenbedingung nach y auflösen und 0,5 einsetzen ?
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> Ich weiß nicht ob ich ein Denkfehler hab, aber muss ich es
> dann nicht "einfach" so rechnen:
>
> [mm]2x^2+\bruch{1}{8}\,y^2=1[/mm]
> -->
> [mm]y_{1}=2* \wurzel{-2(2*x^{2}-1}[/mm]
> [mm]y_{2}=-2* \wurzel{-2(2*x^{2}-1}[/mm]
>
> also setze ich ein:
> [mm]S_{1}=\bruch{2*\wurzel{2}}{\wurzel{1-2*x^{2}}}+\bruch{2}{x}[/mm]
>
> abgeleitet und nach x aufgelöst ergibt [mm]x_{1}=0,5[/mm]
>
> und
> [mm]S_{2}=\bruch{2}{x}-\bruch{2*\wurzel{2}}{\wurzel{1-2*x^{2}}}[/mm]
>
> abgeleitet und nach x aufgelöst ergibt [mm]x_{2}=-0,5[/mm]
>
> Geplottet bzw ausgerechnet habe ich ein Minimum bei [mm]x_{1}.[/mm]
>
> da x=z
>
> [mm]P_{0}[/mm] = (0,5, [mm]y_{0},[/mm] 0,5)
>
> Ist das soweit richtig ? Was ist mit [mm]y_{0}[/mm] ?
>
> Einfach die Nebenbedingung nach y auflösen und 0,5
> einsetzen ?
Ich erhalte:
Nebenbedingung: $ [mm] 2x^2+\bruch{1}{8}\,y^2=1 [/mm] $
Wegen y>0 ist [mm] y=\wurzel{8-16*x^2}=2*\wurzel{2-4*x^2}
[/mm]
$ [mm] S=\bruch{(4*x+y)*\underbrace{(16*x^{2}+y^{2})}_{8}}{4*x*y}=2*\bruch{(4*x+y)}{x*y}=\bruch{8}{y}+\bruch{2}{x} [/mm] $
Das stimmt dann mit deinem [mm] S_1 [/mm] überein.
Eine zweite Möglichkeit [mm] S_2 [/mm] gibt es nicht.
Und nach einer zweiten Rechnung komme ich dazu,
dass wohl auch dein Wert $\ x=0.5$ (also eigentlich [mm] x_o=z_o=\bruch{1}{2})
[/mm]
stimmt. Für [mm] y_o [/mm] hat man dann [mm] y_o=\wurzel{8-16*x_o^2}=2,
[/mm]
und wir haben also eine schöne Lösung:
$\ [mm] P_o\left(\bruch{1}{2}\ /\ 2\ /\ \bruch{1}{2}\right)$
[/mm]
$\ T: 2x+y+2z=4$
$\ a=c=2,\ b=4$
[mm] S_{min}=8
[/mm]
(dass es sich um ein Minimum handelt, wird sich
leicht bestätigen lassen)
LG Al-Chw.
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