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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Fr 10.06.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum gestellt.
Hallo alle zusammen!
Ich habe heute versucht, den Tangentialvektor und die Tangentialebene im Punkt P=(2, 2, 4) zu der folgenden Fläche zu bestimmen:
[mm]\{(x,y,z) \in \IR^{3}: z=xy, x, y \in \IR\}[/mm]
Zunächst habe ich mir folgendes überlegt:
f(x,y) = [mm] \vektor{x \\ y \\ xy}
[/mm]
f'(x,y) = [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & 1 \\ y & x}
[/mm]
Dann ist der Tangentialvektor in P:
[mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 4} [/mm] + s * [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 2}
[/mm]
Meine erste Frage: stimmt das so überhaupt?
Und die zweite Frage wäre, wie ich auf denn nun auf die Tangentialebene komme.
Aus einigen Aufzeichnungen, die ich mir geliehen hatte, fand ich diese Formel:
[mm]A(x)= x + a* f_{x}(x,y) + b* f_{y}(x,y)[/mm]
wobei [mm] f_{x} [/mm] und [mm] f_{y} [/mm] die Ableitungen nach x bzw y sind.
Dann wäre die Ebene in P:
[mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 4} [/mm] + [mm] a*\vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] + b* [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
Ich muss ehrlich sagen, daß das ganze nicht richtig aussieht, aber ich weiss leider nicht,, wie man die Formel zur Tangetialebene findet.
Kann mir jemand helfen und erklären, wie man darauf kommt?
Meine Versuche es zu verstehen waren bisher ziemlich erfolglos, weshalb ich dafür sehr dankbar wäre. :)
Vielen Dank!
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Hallo,
> Ich muss ehrlich sagen, daß das ganze nicht richtig
> aussieht, aber ich weiss leider nicht,, wie man die Formel
> zur Tangetialebene findet.
> Kann mir jemand helfen und erklären, wie man darauf
> kommt?
Nun ein allgemeines lineares Polynom in x und y lautet so:
[mm]
p(x,\;y)\; = \;a_{00} \; + \;a_{10} \;\left( {x\; - \;x_0 } \right)\; + \;a_{01} \;\left( {y\; - \;y_0 } \right)[/mm]
Um hier jetzt die Koeffizienten [mm]a_{ij}[/mm] herauszubekommen, geht man wie folgt vor:
Wird hier das Paar [mm](x_{0},\;y_{0})[/mm] eingesetzt so folgt:
[mm]p\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; = \;a_{00}[/mm]
Um noch die anderen beiden Unbekannten herauszubekommen, werden jeweils die Ableitungen nach x und y gebildet und deren Wert an der Stelle [mm](x_{0},\;y_{0}[/mm] bestimmt.
Dann folgt:
[mm]\begin{array}{l}
p_{x} \left( {x_0 ,\;y_0 } \right)\; = \;a_{10} \\
p_{y} \left( {x_0 ,\;y_0 } \right)\; = \;a_{01} \\
\end{array}[/mm]
Das Gesamtergebnis lautet dann:
[mm]t(x,\;y)\; = \;p\left( {x_0 ,\;y_0 } \right)\; + \;p_{x} \left( {x_0 ,\;y_0 } \right)\;\left( {x\; - \;x_0 } \right)\; + \;p_{y} \left( {x_0 ,\;y_0 } \right)\;\left( {y\; - \;y_0 } \right)[/mm]
Dies ist die Gleichung der Tangentialebene in einem Punkt.
Das ganze läßt sich auch auf vektorwertige Funktionen und auch sogar auf mehrere Variablen ausdehnen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Fr 10.06.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Aha, dann ich dann also die Ebene im Punkt (2, 2, 4) betrachte, bekomme ich also für [mm] x_{0}=2 [/mm] und [mm] y_{0}=2 [/mm] und kann somit sagen:
[mm]t(x,y)= p(2,2) + p_{x}(2,2)*(x-2) + p_{y}(2,2)*(y-2)[/mm]
Das ist dann
[mm]t(x,y)= \vektor{2\\2\\4} + \vektor{1\\0\\2}*(x-2) + \vektor{0\\1\\2}*(y-2)[/mm]
und in Parameterdarstellung.
[mm]t(x,y)= \vektor{0\\0\\-4} + x*\vektor{1\\0\\2} + y*\vektor{0\\1\\2}[/mm]
Klasse, jetzt weiss ich endlich, wie und wieso man so vorgeht! :)
Allerdings wollte ich noch nachfragen ob der Tangentialvektor so korrekt ist, wie ich ihn oben berechnet hatte?
Ich hatte bisher immer nur Aufgaben berechnet, in denen ich bei der Ableitung keine Matrix bekommen hatte, insofern hat es mich überrascht.
Da ich mir der Formel sicher bin, vermute ich, daß das nur Zufall war, aber ich frage lieber nochmal, bevor ich etwas unwissentlich übersehe.
Dankeschön!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Di 14.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Tobias!
Von dem Tangentialvektor zu sprechen, macht hier zunächst einmal keinen Sinn, der wir haben ja eine ganze Tangentialebene. Man kann also nicht den Tangentialvektor berechne und daher kann ich dein Ergebnis dort auch nicht überprüfen.
Jetzt zur Tangentialeben:
> Aha, dann ich dann also die Ebene im Punkt (2, 2, 4)
> betrachte, bekomme ich also für [mm]x_{0}=2[/mm] und [mm]y_{0}=2[/mm] und
> kann somit sagen:
>
> [mm]t(x,y)= p(2,2) + p_{x}(2,2)*(x-2) + p_{y}(2,2)*(y-2)[/mm]
>
> Das ist dann
>
> [mm]t(x,y)= \vektor{2\\2\\4} + \vektor{1\\0\\2}*(x-2) + \vektor{0\\1\\2}*(y-2)[/mm]
Nein, da hast du Michaels Formel leider falsch interpretiert. Die Darstellung der Tangentialebene in der Koordinatenschreibweise lautet wie folgt:
$z = 4 + 2(x-2) + 2(y-2)$.
Dies ist eine Ebene mit Normalenvektor [mm] $\pmat{2 \\ 2 \\ -1}$, [/mm] die durch den Punkte $(2,2,4)$ verläuft.
> und in Parameterdarstellung.
>
> [mm]t(x,y)= \vektor{0\\0\\-4} + x*\vektor{1\\0\\2} + y*\vektor{0\\1\\2}[/mm]
Das stimmt dann wieder! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Stefan
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