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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 So 11.05.2008 | | Autor: | damien23 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung der Funktion
[mm] f:\IR^{2}\to \IR, (x,y)\mapsto [/mm] sin(x) sin(y)
im Punkt (0/0) für p=3 |
Hey bin bis jetz zu folgenden Ergebnissen gekommen
1.Jacobi-Matrix bilden: [mm] \pmat{ cos (x) sin (y) & sin (x) cos (y) }
[/mm]
2. Hesse-Matrix bilden: [mm] \pmat{ -sin (x) sin (y) & cos (x) cos (y) \\ cos (x) cos (y) & sin (x) -sin (y) }
[/mm]
3. gradiend in (0/0) bestimmen: grad (0/0)=<0,0>
4. f(0)= 0 , daraus folgt doch, dass das 0-te Taylor Polynom [mm] T_{0}(x,y)\equivf(0)=0 [/mm] ist oder?
5. Für das erste Taylor-Polynom folgt dann [mm] T_{1}(x,y)=T_{0}+
6. Für die Hesse Matrix in (0,0) erhält man folgende Matrix [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
7. => [mm] T_{2}(x,y)=T_{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}(x,y)... [/mm] hier komme ichleider nicht weiter, da ich nicht weiß wie ich es aufschreiben soll ich hoffe die Notation ist verständlich und ihr könnt mir behilflich sein
MfG
Damien
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Hallo damien23,
> Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung der Funktion
> [mm]f:\IR^{2}\to \IR, (x,y)\mapsto[/mm] sin(x) sin(y)
>
> im Punkt (0/0) für p=3
> Hey bin bis jetz zu folgenden Ergebnissen gekommen
>
> 1.Jacobi-Matrix bilden: [mm]\pmat{ cos (x) sin (y) & sin (x) cos (y) }[/mm]
>
> 2. Hesse-Matrix bilden: [mm]\pmat{ -sin (x) sin (y) & cos (x) cos (y) \\ cos (x) cos (y) & sin (x) -sin (y) }[/mm]
>
> 3. gradiend in (0/0) bestimmen: grad (0/0)=<0,0>
>
> 4. f(0)= 0 , daraus folgt doch, dass das 0-te Taylor
> Polynom [mm]T_{0}(x,y)\equivf(0)=0[/mm] ist oder?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 5. Für das erste Taylor-Polynom folgt dann
> [mm]T_{1}(x,y)=T_{0}+
Das musst nochmal nachrechnen.
>
> 6. Für die Hesse Matrix in (0,0) erhält man folgende Matrix
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> 7. => [mm]T_{2}(x,y)=T_{1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}(x,y)...[/mm] hier komme
Schau mal hier: ![[]](/images/popup.gif) Taylorreihe in mehreren Variablen
> ichleider nicht weiter, da ich nicht weiß wie ich es
> aufschreiben soll ich hoffe die Notation ist verständlich
> und ihr könnt mir behilflich sein
>
> MfG
> Damien
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Mo 12.05.2008 | | Autor: | damien23 |
Hey Mathepower, danke für deine schnelle Reaktion.
Habe mal mein Skript durchforstet und bin auf folgende Formel für das
erste Taylorpolynom gestoßen
[mm] T_{1}(x)=T_{0} [/mm] (x)+ [mm] \summe_{|a|=1} \bruch{D^{a} f(\varepsilon)}{a!} (x-\varepsilon)^{a}= f(\varepsilon)+ [/mm] <grad f [mm] (\varepsilon), (x-\varepsilon)>
[/mm]
Mir ist nur nicht ganz klar für was dass Epsilon steht. Ist doch der Entwicklungspunkt, also P(0/0), oder ?
Vielleicht stehe ich da aber auch einfach nur auf dem Schlauch.
Nun habe ich das ganze mal eingesetzt.
[mm] T_{1}(x)= [/mm] f(0,0)+<0,(x-(0/0)> =>??? bekomme ich da noch nen genaueren Wert raus oder reicht dies so
Für das zweite Taylorpolynom gilt die Formel :
[mm] T_{2}(x)= T_{1}(x)+ \bruch{1}{2} *((x-\varepsilon)^{T})*H_{f}(\varepsilon)*(x-\varepsilon)
[/mm]
Wie erhalte ich [mm] (x-\varepsilon)^{T} [/mm] sind das MAtrizen ?
[mm] H_{f}(\varepsilon) [/mm] habe ich ja schon ausgerechnet.
Mfg
Damien
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Hallo damien23,
> Hey Mathepower, danke für deine schnelle Reaktion.
>
> Habe mal mein Skript durchforstet und bin auf folgende
> Formel für das
> erste Taylorpolynom gestoßen
>
> [mm]T_{1}(x)=T_{0}[/mm] (x)+ [mm]\summe_{|a|=1} \bruch{D^{a} f(\varepsilon)}{a!} (x-\varepsilon)^{a}= f(\varepsilon)+[/mm]
> <grad f [mm](\varepsilon), (x-\varepsilon)>[/mm]
> Mir ist nur nicht
> ganz klar für was dass Epsilon steht. Ist doch der
> Entwicklungspunkt, also P(0/0), oder ?
In der Tat sieht ist es so, daß [mm]\varepsilon[/mm] der Entwicklungspunkt ist.
> Vielleicht stehe ich da aber auch einfach nur auf dem
> Schlauch.
>
> Nun habe ich das ganze mal eingesetzt.
>
> [mm]T_{1}(x)=[/mm] f(0,0)+<0,(x-(0/0)> =>??? bekomme ich da noch nen
> genaueren Wert raus oder reicht dies so
>
> Für das zweite Taylorpolynom gilt die Formel :
>
> [mm]T_{2}(x)= T_{1}(x)+ \bruch{1}{2} *((x-\varepsilon)^{T})*H_{f}(\varepsilon)*(x-\varepsilon)[/mm]
>
> Wie erhalte ich [mm](x-\varepsilon)^{T}[/mm] sind das MAtrizen ?
Hier ist ja wohl [mm]\left(x-\varepsilon\right)[/mm] so definiert:
[mm]\left(x-\varepsilon\right):=\pmat{\left(\tilde{x}-\varepsilon_{x}\right) \\ \left(\tilde{y}-\varepsilon_{y}\right)}[/mm]
mit [mm]x:=\pmat{\tilde{x} \\ \tilde{y}}, \ \varepsilon:=\pmat{\varepsilon_{x} \\ \varepsilon_{y}}[/mm]
Demnach ist
[mm]\left(x-\varepsilon\right)^{T}:=\pmat{\left(\tilde{x}-\varepsilon_{x}\right) & \left(\tilde{y}-\varepsilon_{y}\right)}[/mm]
>
> [mm]H_{f}(\varepsilon)[/mm] habe ich ja schon ausgerechnet.
So und jetzt kannst Du das zweite Taylorpolynom bilden.
>
> Mfg
> Damien
>
Gruß
MathePower
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