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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:46 Mo 23.11.2009 | | Autor: | mb588 |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie [mm] f(r)=\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|} [/mm] für kleine [mm] \vec{r} [/mm] um den Nullvektor. |
Huhu.
Eigentlich vllt. eine nicht so schwere Aufgabe. Ich habe mir erstmal die definition rausgesucht(mathematisch):
[mm] f(x+h,y+k,z+l)=f(x_{0},y_{0},z_{0})+1*(\frac{\partial}{\partial x}h+\frac{\partial}{\partial y}k+\frac{\partial}{\partial z}l)f(x_{0},y_{0},z_{0})+\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}h+\frac{\partial}{\partial y}k+\frac{\partial}{\partial z}l)^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})
[/mm]
Wobei [mm] f(x_{0},y_{0},z_{0})=f(0,0,0) [/mm] und [mm] h=x-x_{0},k=y-y_{0}, l=z-z_{0}
[/mm]
Ist ja erstmal eine ganz nette definition, aber physikalisch denke ich vollkommen unbrauchbar. Ich habe mir jetzt gedacht, dass wäre ja das gleiche wie:
[mm] f(x,y,z)=f(x_{0},y_{0},z_{0})+1*\nabla f(x_{0},y_{0},z_{0})+\frac{1}{2}\Delta f(x_{0},y_{0},z_{0})=f+grad(f)+ \frac{1}{2}div(grad(f)) [/mm]
Ist diese Umformung so richtig?
Aus der Vorlesung weiß ich, dass:
[mm] grad(f)=grad\left(\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\right)=\nabla \frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}=\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}}
[/mm]
Wie man darauf in der Vorlesung gekommen ist wurde leider nicht gezeigt :(. Und selbst komm ich nicht drauf, weil der Betrag unterm Bruch mich stört.
Da ich das aber weiß könnte ich ja mal in die Formel einsetzen mit [mm] \vec{r}=(0,0,0)
[/mm]
[mm] f(x,y,z)=\bruch{1}{\vec{r}'}+\frac{\vec{r}'}{\vec{r}'^{3}}+\frac{1}{2}div\left(\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}}\right)
[/mm]
Und die Divergenz auf diesen Ausdruck anzuwenden bekomme ich nicht hin. Formal ist das klar. Ich rechne ja sozusagen:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x}f+\bruch{\partial}{\partial y}f+\bruch{\partial}{\partial z}f
[/mm]
Ich denke auch das auf Grund der Symmetrie es ausreicht [mm] \bruch{\partial}{\partial x}f [/mm] zu berechnen, aber da weiß ich nicht wie ich das für den Term f machen soll.
Kann mir jemand helfen? Danke schon mal im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Di 24.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum schreibst du denn nicht einfach f(x,y,z) aus
[mm] f=1/\wurzel{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}
[/mm]
dann kannst du alle ableitungen bilden, und auch sehen, was der grad aus der Vorlesung ist.
aber in der Taylorreihe kommt kein grd vor, nur partielle Ableitungen, der erste Term ist richtig, der zweite schon falsch. was soll das Quadrat bedeutne.?
da du um r=0 entwickelst sind deine h,k,l besser x,y,z
und natürlich kann deine skalare fkt f(r) nicht plötzlich vektoren in der Taylorreihe haben, und was ist 1/Vektor?
Gruss leduart
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