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Taylor-Formel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Mi 29.09.2004
Autor: Hanno

Hiho!

EDIT
Sorry, ich hatte hier vorher ein [mm] $\infty$ [/mm] - jetzt korrigiert.

Ich habe eine Frage zur Taylorformel:
[mm] $f(x)=\summe_{i=0}^{n}{\frac{f^{(i)}(a)}{i!}\cdot (x-a)^i}+\frac{1}{n!}\cdot\integral_{a}^{x}{(x-t)^n\cdot f^{(n+1)}(t)\cdot dt}$ [/mm]

Ich habe sie vorhin in der Wikipedia gefunden und sie durch vollständige Induktion bewiesen.
Mein Problem besteht nun darin, dass ich nicht weiß, wie man auf diese Formel bzw., um ein wenig genauer zu sein, auf die Restgliedformel gekommen ist.

Kann mir jemand an der Formel erklären, wieso was wo steht und mir sie ein wenig veranschaulichen?
Wie gesagt, das Taylorpolynom vorne kenne ich, ich frage mich jetzt nur, wieso der Rest gerade [mm] $\frac{1}{n!}\cdot\integral_{a}^{x}{(x-t)^n\cdot f^{(n+1)}(t)\cdot dt}$ [/mm] ist.

Danke schonmal!

Gruß,
Hanno

        
Bezug
Taylor-Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:41 Do 30.09.2004
Autor: Stefan

Lieber Hanno!

Wesentlich einsichtiger wird dir die Formel werden, wenn du den zweiten Mittelwertsatz der Integralrechnung darauf loslässt:

Für auf einem Intervall $[a,b]$ stetige Funktionen $f,g$ gibt es im Falle $g [mm] \ge [/mm] 0$ eine Zwischenstelle [mm] $\xi \in [/mm] [a,b]$ mit

[mm] $\int\limits_a^b f(x)g(x)\, [/mm] dx = [mm] f(\xi) \int\limits_a^b g(x)\, [/mm] dx$.

Wenden wir das doch jetzt mal bei dir auf dein Restglied an (überzeuge dich bitte zunächst davon, dass die Voraussetzungen des zweiten Mittelwertsatzes der Integralrechnung erfüllt sind).

Es gibt also ein [mm] $\xi \in [/mm] [a,x]$ mit

$ [mm] \frac{1}{n!}\cdot\integral_{a}^{x}{(x-t)^n\cdot f^{(n+1)}(t)\, dt} [/mm] = [mm] f^{(n+1)}(\xi) \cdot \frac{1}{n!} \integral_{a}^{x}{(x-t)^n \, dt} [/mm] = [mm] f^{(n+1)}(\xi) \cdot \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}$. [/mm]

Und ich denke mal, diese Lagrange Form des Restgliedes in der Taylor-Formel dürfte wesentlich einsichtiger für dich sein. Die Taylor-Summe wird sozusagen einfach weitergeführt, nur im Restglied wird die entsprechende Ableitung nicht an der Stelle $a$ (wie zuvor immer), sondern an einer Zwischenstelle [mm] $\xi$ [/mm] genommen. Das erinnert dann doch ganz stark an den ganz normalen Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Ich hoffe ich konnte dir etwas helfen. :-)

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
                
Bezug
Taylor-Formel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 Do 30.09.2004
Autor: Hanno

Grüß dich Stefan!

Erstmal danke für deine Antwort, sie hat mir insofern geholfen, als dass ich mir diese ganzen Mittelwertsätze mit Beweis angeschaut habe.
Auch verstehe ich die Herleitung des Lagranschen Restgliedes, aber ich komme, auch mit deinem Hinweis auf den Mittelwertsatz, nicht wirklich anschaulich dahinter, wieso

[mm] $f^{(n+1)}(\xi )\cdot\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}=\summe_{i=n+1}^{\infty}{\frac{f^{(i)}(a)}{i!}\cdot (x-a)^{i}}$ [/mm]

gilt.

Kannst du mir noch mehr auf die Sprünge helfen?

Gruß,
Hanno

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Bezug
Taylor-Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:56 Do 30.09.2004
Autor: Stefan

Lieber Hanno!

Die Formel, die du jetzt angegeben hast, gilt ja nur für unendlich oft stetig differenzierbare Funktionen im Konvergenzbereich der Taylorreihe. Ich denke es wird schwierig die Formel in diesem Fall "anschaulich" zu begründen.

Wir können deine Frage ja mal bis morgen offen lassen, aber ich glaube kaum, dass dir die jemand gescheit beantworten kann. ;-)

Liebe Grüße
Stefan

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Taylor-Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:03 Do 30.09.2004
Autor: Hanno

Hi Stefan.

Irgendwie muss Herr Taylor auf seine Formel ja gekommen sein, und da muss er sich ja einige Anschauliche Überlegungen gemacht haben.

Wie meintest du deinen letzten Satz aus der ersten Antwort, in dem du den mittelwertsatz der Differentialrechnung erwähntest? Wo liegt darin die Veranschaulichung?

Gruß,
Hanno

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Taylor-Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:17 Do 30.09.2004
Autor: Stefan

Lieber Hanno!

Bricht man die Taylor-Reihe mit Lagrange-Restglied sofort ab, so erhält man ja:

$f(x) = f(a) + [mm] f'(\xi) \cdot [/mm] (x-a)$

für ein [mm] $\xi$ [/mm] zwischen $a$ und $x$.

Dies bedeutet im Falle $x>a$: Es gibt ein [mm] $\xi \in [/mm] ]a,x[$ mit

[mm] $f'(\xi) [/mm] = [mm] \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$, [/mm]

und dies ist der gewöhnliche Mittelwertsatz, der eine schöne Interpretation hat, die du ja bestimmt kennst ("die Sekantensteigung wird in einem Zwischenwert als Tangentensteigung angenommen").

In diesem Sinne meinte ich, dass die Lagrange-Restglied-Darstellung eine Art Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes ist. Aber ob du dich damit zufrieden gibst, wage ich zu bezweifeln. ;-) Aber ich wage ebenfalls zu bezweifeln, dass es eine genauso schöne (unmittelbar einsichtige) Anschauung für die höheren Taylor-Approximationen gibt. ;-)

Liebe Grüße
Stefan

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Taylor-Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:41 Fr 01.10.2004
Autor: Stefan

Lieber Hanno!

Wenn dich das Thema im Moment so interessiert, kannst du dir ja mal []diesen Artikel durchlesen.

Liebe Grüße
Stefan

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Taylor-Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:05 Fr 01.10.2004
Autor: Hanno

Grüß dich Stefan!

> Wenn dich das Thema im Moment so interessiert, kannst du dir ja mal []diesen Artikel durchlesen.

Naja, ich habe es bei der Wikipedia aufgeschnappt, die Restgliedformen gesehen und mir gedacht, ich könne mir einen kurzweiligen Abend damit machen, sie zu beweisen und mich mit ihnen zu befassen. Solche kleinen Ausflüge mache ich gerne :-)

Der Artikel ist im Übrigen wirklcih toll und hat mir auch sehr geholfen!
Vielen Dank Stefan!

Bald werde ich mich übrigens mehr mit solchen Reihen beschäftigen, da mein Mathelehrer mit mir ein Thema bearbeiten möchte und wir uns für Fourierreihen entschieden haben :-)

Gruß,
Hanno

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Taylor-Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:38 Fr 01.10.2004
Autor: Hanno

Grüß dich!

Ja, jetzt habe ich ihn mir nochmal angesehen und es ist wirklcih klasse - eine andere, aber weitaus Aufschlussreichere Herleitung der Taylorreihen.

Vielen Dank nochmal!

Gruß,
Hanno

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