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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Sa 19.01.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | Beweisen Sie unter Benutzung der Taylor-Formel folgende Ungleichung!
[mm] \forall [/mm] x [mm] \varepsilon(0,+\infty]: -\bruch{1}{8}*x^{2}\le\wurzel{x+1}-(1+\bruch{x}{2})\le0. [/mm] |
Hallo,
also mein Problem liegt hauptsächlich bei der Taylor-Formel, denn wir haben diese erst einmal bei der relativ einfachen Kosinusfunktion benutzt. Ich weiß zu der Aufgabenstellung, dass ich zu der Funktion
[mm] \wurzel{x+1}-(1+\bruch{x}{2}) [/mm] eine einfacherer Näherungsfunktion mit Hilfe der Taylorformel finden muss, damit ich dann leichter abschätzen kann. Jetzt brauche ich meinen Entwicklungspunkt a und das n, aber wo bekomme ich das her? Bei unsere Kosinusfunktion haben wir als Entwicklungspunkt einfach die Mitte vom Intervall genommen (das war a=0), was ja jetzt nicht geht und das n wurde uns mit n=5 vorgegeben...
Wie mache ich das mit dem Lagrangen Restglied? Ich hab hier diese Allgemeine Formel dazu, aber mir ist die Anwendung mit dem Teta nicht ganz klar, weil wir das noch nie gemacht haben.
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Sa 19.01.2008 | | Autor: | ullim |
ups, da hab ich mich wohl ein bisschen daneben geschaut, es heißt ja [mm] -\bruch{x}{2} [/mm] und nicht [mm] -\bruch{x^2}{2}
[/mm]
Tut mir leid
mfg ullim
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:12 Sa 19.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Danke für das Bild, aber deine Funktion h(x) ist nicht die aus der Aufgabenstellung. Du hast da ein [mm] x^{2} [/mm] wo eigentlich nur ein x hingehört.
Meine Problem ist auch eher die Anwendung der Taylor-Formel, also wie ich diese Funktion vereinfache bzw. wo ich a und n her bekomme.
Wäre sehr nett, wenn jemand, dass mal erklären könnte bzw. mir an diesem Beispiel vorführen würde. Für einfache Funktionen kann ich es mir ungefähr denken.
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Di 22.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
Du kannst dein Taylo-Polynom in zwei Teilen aufstellen,indem du deine Behauptung in zwei Teilen zerlegst,also:
g(x)= [mm] \wurzel[2]{x+1}
[/mm]
h(x)= [mm] 1+\bruch{x}{2}
[/mm]
und f(x)=g(x)-h(x)
Diese Reihe muss soweit entwickelt werden,dass du den Grad der Ungleichung also 2 erreichts.Entwicklungspinkt schreibst du erst ganz allgemein mit a und wenn du fetig bist setzt du erst Null ein,weil ja x>=0 sein muss,bei Null siehst du offensichtilich,dass die Ungleichung erfühlt ist,und wenn x gegen unendlich konvergiert,konvergiert deine Taylor-Reihe gegen null.
Grüss.
Omid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Sa 19.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Wie meinst du "Diese Reihe muss soweit entwickelt werden,dass du den Grad 2 erreichst"? Heißt das n=2??? In der Taylor-Formel geht doch die Summe von k=0 bis n-1, also für n=2 bis 1. Muss ich dann nur einmal ableiten? Was ist denn mit dem Lagrange-Restglied und wie mache ich das da mit dem Teta?
Bin noch ziemlich unsicher wie das alles funktionieren soll, hab das wie gesagt erst einmal an einem einfachen Beispiel gesehen...
Könnte mir das jemand vielleicht noch etwas ausführlicher erklären?
Vielen Dank!
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Hallo,
Du hast hier mit dem Restglied nichts zu tun,das nutzt du,wenn du auch die Fehlerabschätzung machen solltest,aber hier brauchst du nicht.
Wenn du die Taylor-Reihe bis zum zweiten Grad entwickelst,n=2, hast du eben ein Polynom zweites Grades und mehr brauchst du hier nicht,weil die linke Seite nur [mm] x^2 [/mm] steht.
[mm] T_{2}(0)=\bruch{-x^2}{24}
[/mm]
und wenn a>0 ist konvergiert die Reihe gegen Null.
Omid.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Sa 19.01.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
Ich würde [mm] \wurzel{x+1} [/mm] in eine Taylorreihe bis zur ersten Ordnung um [mm] x_0=0 [/mm] entwicklen und dann das verbleibende Lagrangerestglied hinschreiben. Also
[mm] \wurzel{x+1}=1+\bruch{x}{2}+Restglied. [/mm] Das Restglied sieht folgendermaßen aus
Restglied = [mm] -\bruch{1}{8}(\xi [/mm] + [mm] 1)^{-\bruch{3}{2}}*x^2 [/mm] mit 0 [mm] \le \xi \le [/mm] x.
Daraus ergibt sich das Du nachweisen musst das gilt,
[mm] -\bruch{x^2}{8} \le -\bruch{1}{8}(\xi [/mm] + [mm] 1)^{-\bruch{3}{2}}*x^2 \le [/mm] 0 für 0 [mm] \le \xi \le [/mm] x
Da [mm] (\xi [/mm] + [mm] 1)^{-\bruch{3}{2}} \le [/mm] 1 für 0 [mm] \le \xi \le [/mm] x gilt folgt
[mm] -\bruch{x^2}{8} \le -\bruch{1}{8}(\xi [/mm] + [mm] 1)^{-\bruch{3}{2}}*x^2 [/mm] und da
[mm] -\bruch{1}{8}(\xi [/mm] + [mm] 1)^{-\bruch{3}{2}}*x^2 \le [/mm] 0 auch gilt bist Du fertig.
mfg ullim
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Hi,
Deine Lösung ich auch eine gute Betrachtung,wobei es wenig Aufwängig ist.
Grüss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Sa 19.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Alles klar. Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Sa 19.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Wieso hast du beim Restglied= [mm]-\bruch{1}{8}(\xi[/mm] + [mm]1)^{-\bruch{3}{2}}*x^2[/mm] ? Ich hab es zwar noch nie gemacht und es jetzt einfach mal analog der Definition probiert und dann komme ich auf:
[mm] -\bruch{1}{8}*(\varepsilon*x+1)^{-\bruch{3}{2}}*x^{2} [/mm] für [mm] 0<\varepsilon<1
[/mm]
Stimmt das auch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 So 20.01.2008 | | Autor: | ullim |
Hi Anne,
Deine Formel und meine Formel sind identisch. Bei mir variiert [mm] \xi [/mm] zwischen 0 und x und bei Dir variiert [mm] \epsilon*x [/mm] ebenfalls zwischen 0 und x da 0 [mm] \le \epsilon \le [/mm] 1 gilt.
mfg ulim
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