Taylor-Polynom < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi,
a) Bestimmen Sie das zweite Taylorpolynom [mm] P_2(x,0) [/mm] mit Entwicklungsmitte 0 der Funktion
[mm] $f(x)=\bruch{sin x}{e^{3x}}$
[/mm]
b) Ermitteln Sie mit Hilfe von [mm] $P_2(x,0)$ [/mm] einen Näherungswert für das Integral
[mm] $\integral_{-1}^{1} {x^8 * f(x) dx}$
[/mm]
c) Berechnen Sie mit Hilfe von [mm] $P_2(x,0)$ [/mm] eine Näherungslösung $x < 0$ der Gleichung [mm] $f(x)=-\bruch{2}{3}$
[/mm]
So, das hab ich soweit auch versucht. Schon bei der a) kann alles falsch sein, aber das Ergebnis ist doch recht "schön", was mich hoffen lässt es ist richtig:
[mm] $f'(x)=\bruch{e^{3x}(cos x - 3 * sin x )}{e^{6x}}$
[/mm]
[mm] $f''(x)=e^{9x} [/mm] * (8 * sin x - 4 * cos x)$
[mm] $P_2(x,0)=x-2x^2$
[/mm]
Also erstmal würde mich interessieren ob das Ergebnis bis hierher richtig ist? Kennt jemand eigentlich ein Applet oder ein Computerprogramm (vorzugsweise umsonst und für Linux), welches Taylorpolynome berechnen kann?
Mit dem Teil b) und c) bin ich allerdings überfordert. Was muss ich da machen? Vielleicht hilft ja auch eine Link zu einer Erklärung was überhaupt mit Näherungswert, bzw. Näherungslösung gemeint ist.
Gruß
Andreas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Di 25.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hi,
>
> a) Bestimmen Sie das zweite Taylorpolynom [mm]P_2(x,0)[/mm] mit
> Entwicklungsmitte 0 der Funktion
>
> [mm]f(x)=\bruch{sin x}{e^{3x}}[/mm]
>
> b) Ermitteln Sie mit Hilfe von [mm]P_2(x,0)[/mm] einen Näherungswert
> für das Integral
>
> [mm]\integral_{-1}^{1} {x^8 * f(x) dx}[/mm]
>
> c) Berechnen Sie mit Hilfe von [mm]P_2(x,0)[/mm] eine
> Näherungslösung [mm]x < 0[/mm] der Gleichung [mm]f(x)=-\bruch{2}{3}[/mm]
>
> So, das hab ich soweit auch versucht. Schon bei der a) kann
> alles falsch sein, aber das Ergebnis ist doch recht
> "schön", was mich hoffen lässt es ist richtig:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{e^{3x}(cos x - 3 * sin x )}{e^{6x}}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=e^{9x} * (8 * sin x - 4 * cos x)[/mm]
Da hat es einen kleinen Fehler: [mm] $f''(x)=e^{9x}(8 \cdot\sin [/mm] x - [mm] \mathbf{6} \cdot \cos [/mm] x)$
>
>
> [mm]P_2(x,0)=x-2x^2[/mm]
entsprechend [mm] $P_2(x,0)=x-\mathbf{3}x^2$.
[/mm]
>
> Also erstmal würde mich interessieren ob das Ergebnis bis
> hierher richtig ist? Kennt jemand eigentlich ein Applet
> oder ein Computerprogramm (vorzugsweise umsonst und für
> Linux), welches Taylorpolynome berechnen kann?
>
> Mit dem Teil b) und c) bin ich allerdings überfordert. Was
> muss ich da machen? Vielleicht hilft ja auch eine Link zu
> einer Erklärung was überhaupt mit Näherungswert, bzw.
> Näherungslösung gemeint ist.
Ich nehme an, dass du statt mit f(x) einfach mit [mm] $P_2(x,0)$ [/mm] rechnest.
mfG Moudi
>
> Gruß
> Andreas
>
|
|
|
| |
|
> Da hat es einen kleinen Fehler: [mm]f''(x)=e^{9x}(8 \cdot\sin x - \mathbf{6} \cdot \cos x)[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]P_2(x,0)=x-2x^2[/mm]
>
> entsprechend [mm]P_2(x,0)=x-\mathbf{3}x^2[/mm].
Ah, danke. Ich hab oben irgendwo vergessen einen konstanten Faktor zu erhalten. Das war schuld.
> > einer Erklärung was überhaupt mit Näherungswert, bzw.
> > Näherungslösung gemeint ist.
>
> Ich nehme an, dass du statt mit f(x) einfach mit [mm]P_2(x,0)[/mm]
> rechnest.
Du meinst ich muss es nur einsetzen und einfach das Integral berechnen?
[mm] \integral_{-1}^{1} {x^8 * (x - 3x^2) dx}
[/mm]
Wenn ich das mache, kommt ich auf "-1" als Näherungswert.
Bei c) hab ich einfach eingesetzt, umgeformt und p/q-Formel genommen. Das eine Ergebnis ist [mm] $-\bruch [/mm] {2}{6}$. Das ist so schön, dass es einfach richtig sein muss 
Ich hoffe das stimmt jetzt so.
Andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Di 25.01.2005 | | Autor: | moudi |
> > Da hat es einen kleinen Fehler: [mm]f''(x)=e^{9x}(8 \cdot\sin x - \mathbf{6} \cdot \cos x)[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > [mm]P_2(x,0)=x-2x^2[/mm]
> >
> > entsprechend [mm]P_2(x,0)=x-\mathbf{3}x^2[/mm].
>
> Ah, danke. Ich hab oben irgendwo vergessen einen konstanten
> Faktor zu erhalten. Das war schuld.
>
> > > einer Erklärung was überhaupt mit Näherungswert, bzw.
>
> > > Näherungslösung gemeint ist.
> >
> > Ich nehme an, dass du statt mit f(x) einfach mit [mm]P_2(x,0)[/mm]
>
> > rechnest.
>
> Du meinst ich muss es nur einsetzen und einfach das
> Integral berechnen?
>
> [mm]\integral_{-1}^{1} {x^8 * (x - 3x^2) dx}
[/mm]
>
> Wenn ich das mache, kommt ich auf "-1" als Näherungswert.
Ich (respektive mein TR) erhalte [mm] $\integral_{-1}^{1} {x^8 * (x - 3x^2) dx}=\frac{-6}{11}$
[/mm]
>
> Bei c) hab ich einfach eingesetzt, umgeformt und p/q-Formel
> genommen. Das eine Ergebnis ist [mm]-\bruch {2}{6}[/mm]. Das ist so
> schön, dass es einfach richtig sein muss
Ist richtig, aber wirklich schön wäre das Ergebnis [mm] $-\frac13$ [/mm]
>
> Ich hoffe das stimmt jetzt so.
>
> Andreas
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
> Ich (respektive mein TR) erhalte [mm]\integral_{-1}^{1} {x^8 * (x - 3x^2) dx}=\frac{-6}{11}[/mm]
Ah, jetzt bekomm ich es auch hin. Ich hab mich wieder mal von der Aufgabe in die Irre führen lassen und Partielle Integration gemacht und das bis zum gehtnichtmehr gerechnet. Dabei ist die Lösung so simpel erst mal alles aus zu multiplizieren und dann zu integrieren.
Hm, was ist das denn für eine Taschenrechner? Ich habe einen Casio fx-115WA und langsam das Gefühl ich sollte mal das Handbuch lesen, sofern ich es noch finde 
Vielen Dank
Andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Di 25.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Andreas
Ich habe einen TI-89 (der kann ziemlich viel ).
mfG Moudi
|
|
|
|
