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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Mi 04.05.2005 | | Autor: | plumpork |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Juhu ich bin neu hier und eine menge fragen mitgebracht! Wer mir helfen kann dem wär ich sehr dankbar.Folgendes Problem:
a) Zeigen Sie, dass für 0 [mm] \le [/mm] x < 1 und [mm] \alpha \in \IR (1+x)^{\alpha } [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{ \alpha \\ n} x^{n} [/mm] gilt, wobei
[mm] \vektor{ \alpha \\ n}:=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ =0} \\ \bruch{\alpha (\alpha -1) \cdots(\alpha -n+1)}{n!}, & \mbox{für } n \mbox{ =1,2,3,...} \end{cases}
[/mm]
b) Berechnen Sie damit [mm] \wurzel[3]{1001} [/mm] , so dass der Fehler kleiner als [mm] 10^{-7} [/mm] ist.
c) Zeigen Sie, dass für 0 < x < [mm] \infty [/mm] die Ungleichungen
1 + [mm] \bruch{x}{2} [/mm] - [mm] \bruch{x^{2}}{8} [/mm] < [mm] \wurzel{1 + x} [/mm] < 1 + [mm] \bruch{x}{2}
[/mm]
gelten!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber plumpork
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Juhu ich bin neu hier und eine menge fragen mitgebracht!
Schön, aber du musst auch eigene Lösungsansätze mitbringen. Sonst ist dir hier im Matheraum kein schöner Aufenthalt beschienen. Hier wird nicht geholfen, sondern weitergeholfen. Ein Vorrechnen der Aufgaben bedeutet nämlich keine echte Hilfe! 
Ich will aber doch etwas zur ersten Aufgabe sagen.
>
> a) Zeigen Sie, dass für 0 [mm]\le[/mm] x < 1 und [mm]\alpha \in \IR (1+x)^{\alpha }[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{ \alpha \\ n} x^{n}[/mm] gilt,
> wobei
> [mm]\vektor{ \alpha \\ n}:=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ =0} \\ \bruch{\alpha (\alpha -1) \cdots(\alpha -n+1)}{n!}, & \mbox{für } n \mbox{ =1,2,3,...} \end{cases}[/mm]
>
Das Thema ist ja die Taylorentwicklung.
Dazu braucht es doch sicher einmal einige Ableitungen.
[mm] $f(x)=(1+x)^\alpha$
[/mm]
[mm] $f(x)'=\alpha(1+x)^{(\alpha-1)}$
[/mm]
[mm] $f(x)''=\alpha(\alpha-1)(1+x)^{(\alpha-2)}$
[/mm]
[mm] $f(x)'''=\alpha(\alpha-1)(\alpha-1)(1+x)^{(\alpha-3)}$
[/mm]
Damit kannst du einfach die Taylor-Entwicklung ansetzen, und zwar bei [mm] $x_0=0$
[/mm]
So entsteht ganz automatisch die in der Aufgabenstellung gegebene Formel.
Kannst du jetzt das mal konkret machen, und bei Schwierigkeiten dich einfach wieder melden?
Mit lieben Grüssen
Paul
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