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| Aufgabe | | Gegeben ist das Polynom p(x) = [mm] 8x^4 [/mm] + [mm] 12x^3 [/mm] - [mm] 12x^2 [/mm] - 9x + 11. Entwickeln Sie p um a = -1 in eine Taylor-Reihe unter Verwendung des vollstaendigen Horner-Schemas. |
Hallo,
ich weiss leider nicht, was diese Aufgabe von mir will. Was das Horner-Schema ist, weiss ich. Ich weiss auch was ein Taylorpolynom ist. Aber da steht ja nicht in das wievielte Taylorpolynom ich das schreiben soll. Ich weiss auch nicht, was das Horner-Schema mit der Taylorsache zu tun hat.
Liebe Gruesse,
Martin
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> Gegeben ist das Polynom p(x) = [mm]8x^4[/mm] + [mm]12x^3[/mm] - [mm]12x^2[/mm] - 9x +
> 11. Entwickeln Sie p um a = -1 in eine Taylor-Reihe unter
> Verwendung des vollstaendigen Horner-Schemas.
> Hallo,
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> ich weiss leider nicht, was diese Aufgabe von mir will. Was
> das Horner-Schema ist, weiss ich. Ich weiss auch was ein
> Taylorpolynom ist. Aber da steht ja nicht in das wievielte
> Taylorpolynom ich das schreiben soll.
Hallo,
solange, bis es sich nicht mehr verändert.
Dein gegebenes Polynom ist vom Grad 4, und es ist doch nicht anzunehmen, daß der Grad des Taylorpolynoms größer sein wird, oder?
Bedenke: wenn Du ein Polynom oft genug ableitest, wird die ..te-Ableitung =0.
Ich weiss auch nicht,
> was das Horner-Schema mit der Taylorsache zu tun hat.
Mit dem Hornerschema kann man auch die Ableitungen erhalten.
Wie's geht, kannst Du z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen.
Gruß v. Angela
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> > Gegeben ist das Polynom p(x) = [mm]8x^4[/mm] + [mm]12x^3[/mm] - [mm]12x^2[/mm] - 9x +
> > 11. Entwickeln Sie p um a = -1 in eine Taylor-Reihe unter
> > Verwendung des vollstaendigen Horner-Schemas.
> > Hallo,
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> > ich weiss leider nicht, was diese Aufgabe von mir will. Was
> > das Horner-Schema ist, weiss ich. Ich weiss auch was ein
> > Taylorpolynom ist. Aber da steht ja nicht in das wievielte
> > Taylorpolynom ich das schreiben soll.
>
> Hallo,
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> solange, bis es sich nicht mehr verändert.
> Dein gegebenes Polynom ist vom Grad 4, und es ist doch
> nicht anzunehmen, daß der Grad des Taylorpolynoms größer
> sein wird, oder?
Ist es nicht genau andersrum? Mit n-ten Taylorpolynom "vereinfache" ich doch das Polynom um einen Grad; war das nicht so?
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> > > Gegeben ist das Polynom p(x) = [mm]8x^4[/mm] + [mm]12x^3[/mm] - [mm]12x^2[/mm] - 9x +
> > > 11. Entwickeln Sie p um a = -1 in eine Taylor-Reihe unter
> > > Verwendung des vollstaendigen Horner-Schemas.
> > > Hallo,
> > >
> > > ich weiss leider nicht, was diese Aufgabe von mir will. Was
> > > das Horner-Schema ist, weiss ich. Ich weiss auch was ein
> > > Taylorpolynom ist. Aber da steht ja nicht in das wievielte
> > > Taylorpolynom ich das schreiben soll.
> >
> > Hallo,
> >
> > solange, bis es sich nicht mehr verändert.
> > Dein gegebenes Polynom ist vom Grad 4, und es ist doch
> > nicht anzunehmen, daß der Grad des Taylorpolynoms größer
> > sein wird, oder?
>
> Ist es nicht genau andersrum?
Wir sind uns aber einig, daß daß n-te Taylorpolynom keinen Grad hat, der größer ist als der unseres Startpolynoms?
> Mit n-ten Taylorpolynom
> "vereinfache" ich doch das Polynom um einen Grad; war das
> nicht so?
Mit dem n-ten Taylorpolynom (n=0,1,2,3,4) findest Du ein Polynom vom Grad n, welches das Ausgangspolynom im Bereich des Entwicklungspunktes möglichst gut annähert.
Für n=4 hast Du exakt Dein Polynom, rechne es mal aus.
Das 5., 6. usw. Taylorpolynom verändert sich dann nicht mehr. Wie sollte man auch besser nähern als durchs Polynom selbst?
Gruß v. Angela
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Aber das wievielte Taylorpolynom ist bei dieser Aufgabe gemeint; oder besser, ist eine Taylor-Reihe nochmal was Anderes als ein Taylor-Polynom?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Do 31.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ja, das ist ist im Prinzip was anderes. Ein Taylor-Polynom ist ein Polynom, was du durch Ableiten und in die Formel einsetzten bestimmen kannst. Diese Taylor-Polynome, haben dann die Eigenschaft die Funktion in der Nähe des Entwicklungspunktes gut zu approximieren.
Die Taylor-Reihe ist eine Reihe. Bloß wenn du von einem Polynom, die Taylor-Reihe bestimmen willst, musst du ja das Polynom unendlich oft Ableiten. Weil nach genügend oftmaligem Ableiten die Ableitung 0 wird, stimmt die Taylor-Reihe mit einem Taylor-Polynom überein. Sieh dir dazu am besten mal die Taylor-Formel an. Dann siehst du was ich meine.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Bitte helft mir..Ich versteh es nicht...mein Skript ist echt mager...Das Hornerschema kann man zum Ausrechnen von Funktionswerten verwenden..wie kann ich es dazu verwenden, um die Taylor-Reihe zu entwickeln? Kann das mal bitte einer skizzieren??
Danke,
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 Fr 01.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Sancho
In dem wiki artikel, den dir angela mitgeteilt hat steht doch sehr ausführlich wie man die Ableitung an ner Stelle a bei dir a=-1 ausrechnet. du brauchst soviele Ableitungen, wie der Grad des polynoms, denn alle höheren Ableitungen sind 0.
die Formel für Taylor kennst du auch.
Und dann ist nur noch das eigentliche rechnen und vorallem Schreiben die Arbeit.
Die hat sicher niemand Lust für dich zu machen, da es dröge Rechnerei ist.
Also fang mal mit den Hinweisen und QQuellen was an und sag dann genau woran du dabei scheiterst.
(zur Kontrolle kannst du ja ohne Horner differenzieren und -1 einsetzen)
Gruss leduart
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Ok
ich habs mittlerweile hinbekommen, ohne es wirklich zu kapieren
Habe mittlerweile mal ein Dokument gefunden, in dem das mit Taylor erklaert wird:
http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=598&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.com%2Fig%3Fhl%3Den
Mein (erstes) Verstaendnisproblem ist schon ziemlich weit oben. Da steht:
Es soll also gelten p(x)=f(x). Wir wissen aber auch, dass gilt: [mm] f(x)=f(0)+\integral_{0}^{x}{f'(t) dt}
[/mm]
Koennt ihr mir sagen, woraus sich das ableitet?
Danke!
Martin
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> Ok
> ich habs mittlerweile hinbekommen, ohne es wirklich zu
> kapieren
Hallo,
das ist doch schon viel wert!
Manchmal ist es wirklich nützlich, wenn man in der Lage ist, ein "Kochrezept" einfach nachzukochen.
Ich will ja nicht dem bloßen mechanischen Tun das Wort reden, aber ich habe festgestellt, daß ich vieles durchs immer wieder Tun auch verstehen gelernt habe.
>
> Habe mittlerweile mal ein Dokument gefunden, in dem das mit
> Taylor erklaert wird:
>
> http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=598&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.com%2Fig%3Fhl%3Den
>
> Mein (erstes) Verstaendnisproblem ist schon ziemlich weit
> oben. Da steht:
>
> Es soll also gelten p(x)=f(x). Wir wissen aber auch, dass
> gilt: [mm]f(x)=f(0)+\integral_{0}^{x}{f'(t) dt}[/mm]
>
> Koennt ihr mir sagen, woraus sich das ableitet?
Ja.
Es ist f eine Stammfunktion von f'.
Also ist [mm] \integral_{0}^{x}{f'(t) dt}=f(t)|_0^x=f(x)-f(0), [/mm] und mit einer kleinen Umformung hast Du das Gewünschte.
Gruß v. Angela
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Kannst du mir auch erklären, was direkt darauf folgt:
[mm] \integral_{0}^{x}{f''(t) * (x - t) dt} [/mm] = [mm] \bruch{f''(0)}{2} [/mm] * [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{x}{f'''(t) * (x - t)^2 dt}
[/mm]
Nach meinen Rechnungen gilt:
[mm] \integral_{0}^{x}{f''(t) * (x - t) dt} [/mm] = [mm] (\bruch{x^2}{2} [/mm] - [mm] x^2) [/mm] f''(x) - f''(0) - [mm] \integral_{0}^{x}{(\bruch{x^2}{x} - tx)f'''(t)dt}
[/mm]
Ich weiß echt nicht wie man auf obiges kommt :-(
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> Kannst du mir auch erklären, was direkt darauf folgt:
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{f''(t) * (x - t) dt}[/mm] = [mm]\bruch{f''(0)}{2}[/mm]
> * [mm]x^2[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\integral_{0}^{x}{f'''(t) * (x - t)^2 dt}[/mm]
>
Ja, hier wurde das Integral [mm] \integral_{0}^{x}{f''(t) * (x - t) dt} [/mm] partiell integriert.
Man muß etwas aufpassen: die Integrationsvariable ist t und nicht etwa x (wegen "dt").
Das x ist also während der Integration zu behandeln wie eine Konstante.
So bekommst Du
u=f''(t)
u'=f'''(t)
[mm] v=\bruch{-(x-t)^2}{2}
[/mm]
v'=x-t
und erhältst
Integral [mm] \integral_{0}^{x}{f''(t) * (x - t) dt}=f''(t)*\bruch{-(x-t)^2}{2}|_0^x [/mm] - [mm] \integral_{0}^{x}f'''(t)*\bruch{-(x-t)^2}{2}dt
[/mm]
[mm] =f''(x)*\bruch{-(x-x)^2}{2}-f''(0)*\bruch{-(x-0)^2}{2}+\bruch{1}{2} \integral_{0}^{x}f'''(t)(x-t)^2dt
[/mm]
= das Gewünschte.
Gruß v. Angela
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Mit Hilfe des Horner-Schemas erhältst du auf allereinfachste Weise ein Polynom mit einem anderen Entwicklungspunkt, hier -1:
Horner-Schema mit dem gegebenen Polynom und x=-1, immer wieder durchgeführt, jede Zeile wird verkürzt (s.u.):
8 12 -12 -9 11
-8 -4 16 -7
----------------------------
8 4 -16 7 4 Jetzt wiederholen, aber 4 scheidet aus:
-8 4 12
----------------------
8 -4 -12 19 noch ein paar mal das selbe:
-8 12
---------------------
8 -12 0
-8
-----------
8 -20
-----
8
Die roten Zahlen geben jetzt das neue Polynom an und entsprechen der Taylor-Entwicklung für x=-1:
f(x)= [mm] 8(x+1)^4-20(x+1)^3+0(x+1)^2+19(x+1)+4
[/mm]
Löst man die Klammern auf, erhält man wieder das Ausgangspolynom!
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ja danke,
jetzt hast du mir nochmal bestaetigt, dass mein ergebnis richtig ist
aber das problem besteht weiterhin: ich versteh nicht, was horner mit taylor zu tun hat..ich hab zur loesung einfach nur den algorithmus befolgt, den ich hier gefunden hatte:
http://www.fh-aachen.de/index.php?id=3634&no_cache=1&file=2889&uid=8327
aber ich versteh die logik dahinter nicht :(
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Das Horner-Schema entspricht einer Polynomdivision mit [mm] (x-x_0). [/mm] Mach dir dies an einem Beispiel klar, indem du die P.D. durchführst und mit dem Horner-Schema vergleichst. Die letzte Zahl ist dann der Rest, der bei der Division übrig bleibt. So gibt z.B. unser Polynom:
(8 [mm] x^4 [/mm] +12 [mm] x^3 [/mm] -12 [mm] x^2 [/mm] -9 x [mm] +11):(x+1)=8x^3 [/mm] + [mm] 4x^2 [/mm] - 16x + 7 Rest 4.
Genau die Zahlen 8, 4, -16, 7 und 4 aber kommen unter dem ersten Strich im Horner-Schema heraus.
Wenn du das verstanden hast, wird alles klar. Wir wissen ja jetzt (nach der Rechnung), dass das obige Polynom identisch ist mit g(x) = [mm] 8(x+1)^4-20(x+1)^3+19(x+1)+4.
[/mm]
Teilst du dieses Polynom nun durch (x+1), erhältst du
[mm] 8(x+1)^3-20(x+1)^2+19 [/mm] Rest 4.
f und g haben zwar andere Koeffizienten, sind aber identisch. Bei g sieht man an der Darstellung sofort, dass der Rest bei der Division 4 sein muss, bei f erhältst du dasselbe mit dem Horner-Schema.
Nun lässt du bei dem Divisionsergebnis von g den Rest weg und arbeitest mit [mm] 8(x+1)^3-20(x+1)^2+19 [/mm] weiter. Erneute Division mit (x+1) liefert nun die 19 als Rest, also die Zahl, die bei g eigentlich vor (x+1) steht.
Betrachte nun das Divisionsergebnis von f ohne Rest. Es ist [mm] 8x^3 [/mm] + [mm] 4x^2 [/mm] - 16x + 7 und muss daher mit [mm] 8(x+1)^3-20(x+1)^2+19 [/mm] isentisch sein (beide wurden durch (x+1) geteilt und Rest 4 weggelassen). Teilt man dies erneut mit dem Horner-Schema durch (x+1), erhält man demnach auch 19 als Rest und wieder ein Polynom, das mit dem Ergebnis der Division von [mm] 8(x+1)^3-20(x+1)^2+19 [/mm] durch (x+1) übereinstimmt usw.
Tatsächlich kennt man g natürlich noch nicht, aber wenn man nun die Geschichte im Nachhinein betrachtet, wird einem klar, wieso man g auf diese Weise erhält.
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hallo hallo nochmal,
ich hab zwar im grunde verstanden wie das mit dem hornerschema geht, wuerd aber gern auch den ganz allgemeinen fall verstehen (also division eines relativ hochgradigen polynoms durch ein nicht ganz so hochgradiges polynom). wuerde einer bitte mal sich das folgende excelsheet anschauen und das hornerschema vervollstaendigen (so wie im allgemeinen fall unter http://de.wikipedia.org/wiki/Horner-Schema#Polynomdivision skizziert)..das sheet kann man hier runterladen:
http://www.mediafire.com/?bkxze4bwjz2
waer echt nett wenn einer mal kurz die zeit haette
dankeschoen
martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mo 04.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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