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| Aufgabe | Sei f die Rationale Funktion mit
[mm] f(x)=\bruch{36x+24}{x^{2}+x-2}
[/mm]
a) Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung
b) Berechnen Sie die ersten beiden Ableitungen.
c) Berechnen Sie das zweite Taylorpolynom [mm]T_{2}f(x,0)[/mm] von f mit dem Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm]. Verwenden Sie Teil b
d) Berechnen Sie die Taylor-Reihe [mm]Tf(x,0)[/mm] von [mm]f[/mm] mit dem Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm]. Wenden Sie zu diesem Zweck die Summenformel der geometrischen Reihe auf die Partialbrüche von f an. |
Wir haben die folgende Aufgabe bis auf den Letzten Punkt gelöst. Uns steht auch eine Musterlösung zur Verfügung. Wir verstehen jedoch einen Schritt in den letzten Teil nicht und bitten daher um Hilfe.
Also Die Partialbruchzerlegung haben wir:
[mm] f(x)=\bruch{16}{x+2}+\bruch{20}{x-1}
[/mm]
Damit auch die Ableitungen sowie das Taylorpolynom:
[mm] T_{2}f(x,0)=-12-24x-18x^{2}
[/mm]
Die Sache mit der Taylor-Reihe unter Verwendung der Summenformel der geometrischen Reihe verstehen wir nicht ganz.
Also, die Summenformel der geom. Reihe ist ja
[mm] \bruch{1}{1-z}=\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}
[/mm]
Also versuchen wir die Terme der Partialbruchzerlegung irgendwie in diese Form zu bringen. Mit dem zweiten Term habe ich kein Problem, da im Nenner ohnehin schon [mm](x-1)[/mm] steht, wofür ich ja auch [mm](-1+x)[/mm] mann kann minus-Zeichen vor den Bruch ziehen und hat die Form in der Summenformel. Da ist klar, dann folgt nämlich:
[mm] \bruch{20}{x-1}=-\bruch{20}{1-x}=-20\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}
[/mm]
Das verstehe ich noch.
Aber für den ersten Term steht in der Musterlösung folgendes:
[mm] \bruch{16}{x+2}=\bruch{8}{1+\bruch{x}{2}}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{8}{2^{n}}x^{n}
[/mm]
Und da kapier ich nicht, wie man drauf kommt. Kann mir jemand bitte einen Denkanstoß dazu geben :)
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Mo 04.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Sei f die Rationale Funktion mit
> [mm]f(x)=\bruch{36x+24}{x^{2}+x-2}[/mm]
>
> a) Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung
>
> b) Berechnen Sie die ersten beiden Ableitungen.
>
> c) Berechnen Sie das zweite Taylorpolynom [mm]T_{2}f(x,0)[/mm] von f
> mit dem Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm]. Verwenden Sie Teil b
>
> d) Berechnen Sie die Taylor-Reihe [mm]Tf(x,0)[/mm] von [mm]f[/mm] mit dem
> Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm]. Wenden Sie zu diesem Zweck die
> Summenformel der geometrischen Reihe auf die Partialbrüche
> von f an.
> Wir haben die folgende Aufgabe bis auf den Letzten Punkt
> gelöst. Uns steht auch eine Musterlösung zur Verfügung. Wir
> verstehen jedoch einen Schritt in den letzten Teil nicht
> und bitten daher um Hilfe.
>
> Also Die Partialbruchzerlegung haben wir:
>
> [mm]f(x)=\bruch{16}{x+2}+\bruch{20}{x-1}[/mm]
>
> Damit auch die Ableitungen sowie das Taylorpolynom:
>
> [mm]T_{2}f(x,0)=-12-24x-18x^{2}[/mm]
>
> Die Sache mit der Taylor-Reihe unter Verwendung der
> Summenformel der geometrischen Reihe verstehen wir nicht
> ganz.
> Also, die Summenformel der geom. Reihe ist ja
> [mm]\bruch{1}{1-z}=\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}[/mm]
>
> Also versuchen wir die Terme der Partialbruchzerlegung
> irgendwie in diese Form zu bringen. Mit dem zweiten Term
> habe ich kein Problem, da im Nenner ohnehin schon [mm](x-1)[/mm]
> steht, wofür ich ja auch [mm](-1+x)[/mm] mann kann minus-Zeichen vor
> den Bruch ziehen und hat die Form in der Summenformel. Da
> ist klar, dann folgt nämlich:
>
> [mm]\bruch{20}{x-1}=-\bruch{20}{1-x}=-20\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}[/mm]
>
> Das verstehe ich noch.
>
> Aber für den ersten Term steht in der Musterlösung
> folgendes:
>
> [mm]\bruch{16}{x+2}=\bruch{8}{1+\bruch{x}{2}}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{8}{2^{n}}x^{n}[/mm]
>
> Und da kapier ich nicht, wie man drauf kommt. Kann mir
> jemand bitte einen Denkanstoß dazu geben :)
Der Bruch wurde erst mit 2 gekürzt.
Um auf eine Form "1-..." im Nenner zu kommen, wurde einfach [mm] 1+\bruch{x}{2} [/mm] durch [mm] 1-\bruch{-x}{2} [/mm] ersetzt. Die Potenzen davon haben einen ständigen Vorzeichenwechsel.
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> Danke
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Hi abakus,
vielen lieben Dank für die schnelle Hilfe.
Das mit dem Kürzen mit 2 ist klar. Was ich nicht verstehe ist, dass der Nenner [mm]\bruch{8}{1-\bruch{-x}{2}}[/mm] nicht von der Form [mm](1-x)[/mm] ist, da ja vor dem x noch der Faktor [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] steht. Was passiert denn mit dem [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]? Oder was macht man generell mit solchen Faktoren, die vor dem x stehen? ich dachte die Formel kann nur eingesetzt werden, wenn auch wirklich die Form [mm](1-x)[/mm] erreicht wurde.
Was mir sonst einfällt, wo ich mir nicht sicher bin, ob ich da richtig denke ist folgendes:
Also wenn [mm]y=-\bruch{x}{2}[/mm] dann kann ich diesen Term durch y ersetzen und erhalte: [mm]\bruch{8}{1-y}=8\summe_{n=0}^{\infty}y^{n}[/mm] wenn ich dann y zurück ersetze bekomme ich [mm]8\summe_{n=0}^{\infty}(-\bruch{x}{2})^{n}=8\summe_{n=0}^{\infty}(-\bruch{x^{n}}{2^{n}})[/mm] und da das vorzeichen des Bruches mit steigenden n alterniert, kommt noch [mm](-1)^{n}[/mm] hinzu und habe dann somit [mm]8\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{n}}{2^{n}}[/mm].
Was ich nur noch nicht verstehe, ist, warum man die 8 in der Musterlösung nicht vor das Summenzeichen geschrieben hat. Spielt das eine Rolle?
Ist mein Gedankengang soweit richtig?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo Serhan!
Du hast das nicht ganz richtig umgesetzt. Das wechselnde Vorzeichen entsteht durch folgende Umformung /  Potenzgesetz:
[mm] $$\left(-\bruch{x}{2}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left[(-1)*\bruch{x}{2}\right]^n [/mm] \ = \ [mm] (-1)^n*\bruch{x^n}{2^n}$$
[/mm]
Den Faktor 8 kannst Du gemäß Distributivgesetz ("ausklammern") vor oder innerhalb des Summenzeichens schreiben.
Gruß vom
Roadrunner
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