Taylor-Reihe und Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion
[mm] f(x)=0,x\le0 [/mm] bzw. [mm] e^{-1/x^{2}},x>0
[/mm]
auf [mm] \IR [/mm] unendlich oft diff'bar ist. Verwenden Sie zum Beweis vollständige Induktion.
Wie sieht die Taylor-Reihe der Funktion in [mm] x_{0}=0 [/mm] aus? Was fällt beim Vergleich von Funktion und Taylor-reihe auf? |
Hallo!
Kann mir vielleicht bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen, ich komme da irgendwie nicht weiter.
Als Tipps bekam ich noch dazu:
- Man soll nur den teil mit e der Funktion betrachten
- Man soll erst die T.-Reihe bilden, irgendwie mit dem Taylorpolynom [mm] p_{n}(\bruch{1}{x}), [/mm] sodass sie in etwa so aussehen soll: [mm] p_{n}(\bruch{1}{x})=a_{0}+a_{1}*\bruch{1}{x}+a_{2}*\bruch{1}{x^{2}}+...+a_{m}*\bruch{1}{x^{m}}
[/mm]
- Dann damit die vollständige induktion, angefangen mit der behauptung, dem Induk.anfang [mm] (p_{n}=1), [/mm] der induk.voraussetzungund dann dem Induk.schritt:
bei x=0 und dann mit dem Diff'quotienten:
[mm] f^{n+1}(0)=\limes_{h\rightarrow\0}(\bruch{f^{n}(h)-f^{n}(0)}{h-0})
[/mm]
dann h [mm] \mapsto \bruch{1}{x}, [/mm] dann l'Hospital anwenden und zum schluss dann [mm] \limes_{x\rightarrow\ßpm infty}
[/mm]
So, das war alles, was ich dazu weiss... Wär nett, wenn mir jemand weiterhelfen kann.
Liebe Grüße, mathekinda
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Di 16.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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