www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Differentiation" - Taylor
Taylor < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Taylor: Wie oft ableiten?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:27 Di 24.01.2017
Autor: pc_doctor

Hallo,
ich soll die Taylor Reihe von  [mm] \wurzel[3]{1+x} [/mm] im Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] =0 bestimmen.

Also das Ableiten ist kein Problem, habe schon die ersten 4 Ableitungen gebildet, aber theoretisch kann ich unendlich oft ableiten. Wann soll ich aufhören?

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Taylor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:31 Di 24.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> ich soll die Taylor Reihe von [mm]\wurzel[3]{1+x}[/mm] im
> Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm] =0 bestimmen.

>

> Also das Ableiten ist kein Problem, habe schon die ersten 4
> Ableitungen gebildet, aber theoretisch kann ich unendlich
> oft ableiten. Wann soll ich aufhören?

Wenn es um eine Taylorreihe geht, im Prinzip überhaupt nicht. Praktisch in dem Moment, wenn ein explizites Bildungsgesetz für die n. Ableitung gefunden ist (was hier kein Problem sein sollte).

Anders sieht es aus, wenn du ein Taylor-Polynom berechnen möchtest: dann gibt dir die Ordnung vor, wie viele Summanden und damit auch, wie viele Ableitungen du benötigst.

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Taylor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:33 Di 24.01.2017
Autor: pc_doctor

Ahh, ja, jetzt wo du es sagst, erkenne ich das Muster.

Vielen Dank.

Bezug
                
Bezug
Taylor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 Di 24.01.2017
Autor: pc_doctor

Hallo nochmal,
also ich habe die ersten 4 Ableitungen gebildet:

$$ f'(x) = [mm] \frac{1}{3}(1+x)^{-2/3} [/mm] $$
$$ f''(x) = [mm] -\frac{2}{9}(1+x)^{-5/3} [/mm] $$
$$ f'''(x) = [mm] \frac{10}{27}(1+x)^{-8/3} [/mm] $$
$$ [mm] f^{4}(x) [/mm] = [mm] -\frac{80}{81}(1+x)^{-11/3}$$ [/mm]

Ich erkenne das Muster, jedoch fehlt mir noch etwas. Das von mir erkannte Muster hat die Form:

$$ [mm] f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}\frac{..}{3^n}(1+x)^{-\frac{3n-1}{3}} [/mm] $$

Nur weiß ich nicht, was ich in den Zähler im ersten Bruch einsetzen soll.

Ich habe mir so eine Art Tabelle gemacht:

1. Ableitung: 1

2. Ableitung: 1*2

3. Ableitung: 1*2*5

4. Ableitung: 1*2*5*8

Aber ich checke nicht, was das für ein Muster  sein soll für den Zähler. Offensichtlich wird immer mit 3 addiert und dann alles multipliziert. Ich will aber jetzt kein Produkt der Form [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] im Zähler haben. Da muss es ja einen einfacheren Weg geben.

Vielen Dank im Voraus.

Bezug
                        
Bezug
Taylor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 Di 24.01.2017
Autor: HJKweseleit

Da der Entwicklungspunkt [mm] x_0=0 [/mm] ist, setzt du nun noch für x den Wert 0 ein. Damit "verschwindet" der Faktor in der Klammer, weil [mm] 1^{pipapo}=1 [/mm] ist. Was übrig bleibt ist der Wert [mm] f^{(n)}(0), [/mm] und den setzt du nun in die Taylorreihe ein.

Für den Zähler nimmst du

[mm]\produkt_{i=1}^{n}(4-3i)[/mm].

Dafür musst du aber den Faktor [mm] (-1)^{n+1} [/mm] weglassen. Überprüfe das!


Bezug
                                
Bezug
Taylor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:22 Di 24.01.2017
Autor: pc_doctor

Hallo, danke für die Antwort.

Ja, das macht Sinn. Das mit dem $ [mm] (-1)^{n+1} [/mm] $ weglassen verstehe ich auch.

Das bedeutet, dass die Bildungsvorschrift für die Ableitung an dem Entwicklungspunkt 0 so aussieht:

[mm] f^{(n)}(x)= \bruch{ \produkt_{i=1}^{n}(4-3i) }{3^n} [/mm]

Eine Taylor-Reihe hat die allgemeine Form:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} [/mm]

Sieht also bei mir dann so aus (mit [mm] x_0=0) [/mm] :

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\bruch{ \produkt_{i=1}^{n}(4-3i) }{3^n}*x^n}{n!} [/mm]

Ist das so richtig?

Bezug
                                        
Bezug
Taylor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:44 Di 24.01.2017
Autor: HJKweseleit

Ja, richtig. Beachte noch: Der Konvergenzradius ist R=1. Du kannst also nur -1<x<1 einsetzen.

Bezug
                                                
Bezug
Taylor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:22 Mi 25.01.2017
Autor: pc_doctor

Danke für die Hilfe.
Zu dem Teil mit dem Konvergenzradius stelle ich morgen noch mal eine Frage.. bzw heute.

Vielen Dank bis hierhin.

Bezug
                                                
Bezug
Taylor: Radius
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Mi 25.01.2017
Autor: pc_doctor

Hallo nochmal,

wir haben ja jetzt die Taylor Reihe $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\bruch{ \produkt_{i=1}^{n}(4-3i) }{3^n}\cdot{}x^n}{n!} [/mm] $

für den Entwicklungspunkt [mm] x_0= [/mm] 0
Wie kommt man jetzt auf den Konvergenzradius 1? Ich weiß, wie man den Konvergenzradius allgemein berechnen kann(Quotientenkriterium oder Wurzelkriterium), aber hier habe ich ja ein Produkt stehen. Wie bekommt man da den Konvergenzradius?

Bezug
                                                        
Bezug
Taylor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 Mi 25.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo nochmal,

>

> wir haben ja jetzt die Taylor Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\bruch{ \produkt_{i=1}^{n}(4-3i) }{3^n}\cdot{}x^n}{n!}[/mm]

>

> für den Entwicklungspunkt [mm]x_0=[/mm] 0
> Wie kommt man jetzt auf den Konvergenzradius 1? Ich weiß,
> wie man den Konvergenzradius allgemein berechnen
> kann(Quotientenkriterium oder Wurzelkriterium), aber hier
> habe ich ja ein Produkt stehen. Wie bekommt man da den
> Konvergenzradius?

Das hängt durchaus miteinander zusammen, siehe []hier.

Im vorliegenden Fall sieht es mir danach aus, dass

[mm]r= \lim_{n\rightarrow\infty} \left\vert \frac{a_n}{a_{n+1}} \right\vert[/mm]

der richtige Ansatz ist.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                                
Bezug
Taylor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Mi 25.01.2017
Autor: pc_doctor

Hallo,

dann muss ich meine gegebene Taylor-Reihe umschreiben, also das [mm] a_n [/mm] muss "zu sehen" sein.

$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\bruch{ \produkt_{i=1}^{n}(4-3i) }{3^n}\cdot{}x^n}{n!} [/mm] $

[mm] =\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(\bruch{1}{3^n})}{n!} [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{n}(4-3i)*x^n [/mm]

Damit ist mein [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{(\bruch{1}{3^n})}{n!} [/mm] und ich kann das Quotientenkriterium anwenden, oder?


Bezug
                                                                        
Bezug
Taylor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Mi 25.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,
> Hallo,

>

> dann muss ich meine gegebene Taylor-Reihe umschreiben, also
> das [mm]a_n[/mm] muss "zu sehen" sein.

>

> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\bruch{ \produkt_{i=1}^{n}(4-3i) }{3^n}\cdot{}x^n}{n!}[/mm]

>

> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(\bruch{1}{3^n})}{n!}[/mm] *
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}(4-3i)*x^n[/mm]

>

> Damit ist mein [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{(\bruch{1}{3^n})}{n!}[/mm] und ich
> kann das Quotientenkriterium anwenden, oder?

Nein:

[mm]a_n= \frac{ \prod_{i=1}^{n}(4-3i) }{3^n*n!}[/mm]

Gruß, Diophant

Bezug
                                                                                
Bezug
Taylor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:56 Mi 25.01.2017
Autor: pc_doctor

Hallo,
ah okay, ich verstehe. Okay, da kommt dann wirklich 1 raus. Vielen vielen Dank.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de