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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Hans80 |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Mi 14.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist
[mm] $sin(\pi [/mm] x)=sin( [mm] \pi(x-1)+ \pi)= sin(\pi(x-1))*cos(\pi)+sin( \pi)cos(\pi(x-1))=-sin(\pi(x-1))$
[/mm]
Jetzt bemühe die Potenreihenentwicklung von Sinus.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Hans80 |
Hallo Fred!
Zunächst mal dankeschön für deine Hilfe.
Ich kann damit aber leider nichts konkretes anfangen?
Meintest du dass ich nun von: [mm] -sin(\pi(x-1)) [/mm] die Ableitungen bilden soll?
Ich soll die Entwicklung ja um den Punkt x=1 machen. Kann man in dem Fall nicht gleich alle Sinusterme vernachlässigen, da [mm] sin(\pi [/mm] *x) sowieso 0 ist für x=1?
> Es ist
>
> [mm]sin(\pi x)=sin( \pi(x-1)+ \pi)= sin(\pi(x-1))*cos(\pi)+sin( \pi)cos(\pi(x-1))=-sin(\pi(x-1))[/mm]
>
> Jetzt bemühe die Potenreihenentwicklung von Sinus.
>
> FRED
gruß
Hans
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Mi 14.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
> Zunächst mal dankeschön für deine Hilfe.
> Ich kann damit aber leider nichts konkretes anfangen?
> Meintest du dass ich nun von: [mm]-sin(\pi(x-1))[/mm] die
> Ableitungen bilden soll?
> Ich soll die Entwicklung ja um den Punkt x=1 machen. Kann
> man in dem Fall nicht gleich alle Sinusterme
> vernachlässigen, da [mm]sin(\pi[/mm] *x) sowieso 0 ist für x=1?
Was ist los ?
>
> > Es ist
> >
> > [mm]sin(\pi x)=sin( \pi(x-1)+ \pi)= sin(\pi(x-1))*cos(\pi)+sin( \pi)cos(\pi(x-1))=-sin(\pi(x-1))[/mm]
>
> >
> > Jetzt bemühe die Potenreihenentwicklung von Sinus.
> >
> > FRED
>
> gruß
> Hans
>
>
> $ [mm] sin(\pi [/mm] x)=sin( [mm] \pi(x-1)+ \pi)= sin(\pi(x-1))\cdot{}cos(\pi)+sin( \pi)cos(\pi(x-1))=-sin(\pi(x-1)) =\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{( \pi (x-1))^{2n+1}}{(2n+1)!}$ [/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Hans80 |
Hallo,
Tut mir leid, aber ich versteh schon wieder nicht wirklich was du jetzt gemacht hast...
Um die Reihe zu bestimmen muss ich doch zuerst die Ableitungen bilden und daraus eine allgemeine Vorschrift bestimmen, oder?
Hier wurde doch einfach das Argument der zu berechnenten Reihe in die Sinusreihe eingesetzt.
Ist das jetzt die Lösung?
Wenn ja, versteh ich sie nicht. Könntest du mir bitte auch ein wenig erklären was du da gemacht hast?
> > [mm]sin(\pi x)=sin( \pi(x-1)+ \pi)= sin(\pi(x-1))\cdot{}cos(\pi)+sin( \pi)cos(\pi(x-1))=-sin(\pi(x-1)) =\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{( \pi (x-1))^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> FRED
Hans
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Hans80 |
Hallo!
Ich habe die Aufgabe jetzt auf meine ursprünglich art und Weise gelöst und komme fast auf das gleiche Ergebnis.
Jedoch fängt meine Summe mit [mm] (-1)^n [/mm] an anstatt [mm] (-1)^{n+1} [/mm] Was ist richtig?
In meiner Lösung kann ich keine Fehler erkennen...
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Hallo Hans,
> Hallo,
> Tut mir leid, aber ich versteh schon wieder nicht wirklich
> was du jetzt gemacht hast...
> Um die Reihe zu bestimmen muss ich doch zuerst die
> Ableitungen bilden und daraus eine allgemeine Vorschrift
> bestimmen, oder?
> Hier wurde doch einfach das Argument der zu berechnenten
> Reihe in die Sinusreihe eingesetzt.
> Ist das jetzt die Lösung?
> Wenn ja, versteh ich sie nicht. Könntest du mir bitte
> auch ein wenig erklären was du da gemacht hast?
Na, du sollst ja um [mm]x_0=1[/mm] entwickeln, da brauchst du [mm](x-1)^n[/mm] in der Reihe.
Fred hat den Ausgangsterm so umgeschrieben, dass aus dem [mm]x[/mm] ein [mm]x-1[/mm] wird und dann alles mit den Additionstheoremen und [mm]\sin(\pi)=0,\cos(\pi)=-1[/mm] umgeformt von [mm]\sin(\pi x)[/mm] zu [mm]-\sin(\pi(x-1))[/mm]
Dann hat er die bekannte Sinusreihe (um [mm]x_0=0[/mm]) hergenommen:
Edit: nun mit richtigem Exponenten ...
[mm]\sin(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\cdot{}z^{\red{2n+1}}[/mm]
Edit Ende
Das Ganze betrachte dann mit [mm]z=\pi(x-1)[/mm] und dem Vorzeichen vor dem Sinus!
Schon hast du die gewünschte Darstellung und dir sämtliches mühsames Ableiten und Finden einer geschlossenen Formel für die n-te Ableitung erspart ...
>
> > > [mm]sin(\pi x)=sin( \pi(x-1)+ \pi)= sin(\pi(x-1))\cdot{}cos(\pi)+sin( \pi)cos(\pi(x-1))=-sin(\pi(x-1)) =\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{( \pi (x-1))^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> >
> > FRED
>
> Hans
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Hans80 |
Hallo Fred und Schachuzipus,
Habs nun verstanden.
Vielen Dank für euere Mühe!
Hans
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Mi 14.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Hans,
>
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> > Hallo,
> > Tut mir leid, aber ich versteh schon wieder nicht
> wirklich
> > was du jetzt gemacht hast...
> > Um die Reihe zu bestimmen muss ich doch zuerst die
> > Ableitungen bilden und daraus eine allgemeine Vorschrift
> > bestimmen, oder?
> > Hier wurde doch einfach das Argument der zu
> berechnenten
> > Reihe in die Sinusreihe eingesetzt.
> > Ist das jetzt die Lösung?
> > Wenn ja, versteh ich sie nicht. Könntest du mir bitte
> > auch ein wenig erklären was du da gemacht hast?
>
> Na, du sollst ja um [mm]x_0=1[/mm] entwickeln, da brauchst du
> [mm](x-1)^n[/mm] in der Reihe.
>
> Fred hat den Ausgangsterm so umgeschrieben, dass aus dem [mm]x[/mm]
> ein [mm]x-1[/mm] wird und dann alles mit den Additionstheoremen und
> [mm]\sin(\pi)=0,\cos(\pi)=-1[/mm] umgeformt von [mm]\sin(\pi x)[/mm] zu
> [mm]-\sin(\pi(x-1))[/mm]
>
> Dann hat er die bekannte Sinusreihe (um [mm]x_0=0[/mm])
> hergenommen:
>
> [mm]\sin(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\cdot{}z^n[/mm]
Hallo schachuzipus,
da hast Du Dich vertippt !
[mm]\sin(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\cdot{}z^{2n+1}[/mm]
FRED
>
> Das Ganze betrachte dann mit [mm]z=\pi(x-1)[/mm] und dem Vorzeichen
> vor dem Sinus!
>
> Schon hast du die gewünschte Darstellung und dir
> sämtliches mühsames Ableiten und Finden einer
> geschlossenen Formel für die n-te Ableitung erspart ...
>
> >
> > > > [mm]sin(\pi x)=sin( \pi(x-1)+ \pi)= sin(\pi(x-1))\cdot{}cos(\pi)+sin( \pi)cos(\pi(x-1))=-sin(\pi(x-1)) =\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{( \pi (x-1))^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> > >
> > > FRED
> >
> > Hans
> >
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo Fred,
oh wei! Danke für deinen Scharfblick, ich werde es rasant editieren!
Gruß
schachuzipus
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