Taylor Polynom < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Fr 16.07.2010 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | | Geben sie für die Funktion f_(x,y) [mm] =(2x-\bruch{3}{\pi}*y+2)^3+sin(x+y) [/mm] an der Stelle [mm] (x_0,y_0) =(0,\bruch{\pi}{2}) [/mm] das Taylor Polynom bis einschließlich Ordnung 2 an. |
Kann man mir bitte erklären wie ich das Taylor Polynom im 2D raum berechnen.
Ich muss doch die Partiellen Ableitungen bilden?
Und wie genau sieht das Polynom dann aus. Bitte verweist mich nicht auf wikipdia. Die mathematischen Definitionen helfen mir wirklich nicht weiter.
Ich hab auch schon gelesen das man hier mit der Hesse Matrix irgendwie weiter kommen soll. Stimmt das? Und wenn ja in wie fern
Danke schon mal
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Hallo marc1001,
> Geben sie für die Funktion f_(x,y)
> [mm]=(2x-\bruch{3}{\pi}*y+2)^3+sin(x+y)[/mm] an der Stelle [mm](x_0,y_0) =(0,\bruch{\pi}{2})[/mm]
> das Taylor Polynom bis einschließlich Ordnung 2 an.
> Kann man mir bitte erklären wie ich das Taylor Polynom im
> 2D raum berechnen.
>
> Ich muss doch die Partiellen Ableitungen bilden?
Ja.
> Und wie genau sieht das Polynom dann aus. Bitte verweist
> mich nicht auf wikipdia. Die mathematischen Definitionen
> helfen mir wirklich nicht weiter.
Das Taylorpolynom zweiter Ordnung ergibt sich dann so:
[mm]T_{2}\left(x,y\right)=f\left(x_{0},y_{0}\right)+f_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)+f_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)[/mm]
[mm]+\bruch{1}{2}*\left( \ f_{xx}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)^{2} + 2*f_{xy}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)*\left(y-y_{0}\right) + f_{yy}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(y-y_{0}\right)^{2}\ \right)[/mm]
Das Taylorpolynom kannst Du Dir auch selbst herleiten.
Setze dazu an:
[mm]f\left(x,y\right)=\summe_{i=1}^{\infty}\summe_{j=1}^{\infty}a_{ij}*\left(x-x_{0}\right)^{i}*\left(y-y_{0}\right)^{j}[/mm]
Um die Koeffizienten [mm]a_{ij}[/mm] zu bestimmen, bildest Du den Funktionswert
mit sämtlichen partiellen Ableitungen an der Stelle [mm]\left(x_{0},\ y_{0}\right)[/mm]
>
> Ich hab auch schon gelesen das man hier mit der Hesse
> Matrix irgendwie weiter kommen soll. Stimmt das? Und wenn
> ja in wie fern
Nun, der Ausdruck
[mm] f_{xx}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)^{2} + 2*f_{xy}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)*\left(y-y_{0}\right) + f_{yy}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(y-y_{0}\right)^{2}[/mm]
kann mit Hilfe der Hesse-Matrix so geschrieben werden:
[mm]\pmat{x-x_{0} & y-y_{0}}*\pmat{f_{xx}\left(x_{0},y_{0}\right) && f_{xy}\left(x_{0},y_{0}\right) \\ f_{xy}\left(x_{0},y_{0}\right) && f_{yy}\left(x_{0},y_{0}\right)}*\pmat{x-x_{0} \\ y-y_{0}}[/mm]
>
> Danke schon mal
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Fr 16.07.2010 | | Autor: | marc1001 |
Das würde dann so aussehen.
[mm] \bruch{5}{4}+1,5*(x-0)-\bruch{9}{4\pi}*(x-0)+\bruch{1}{2}[11*(x-0)^2+2*(-\bruch{18}{\pi^2}-1)(x-0)(y-\bruch{\pi}{2})+\bruch{27}{\pi^2}-1*(y-\bruch{\pi}{2})]
[/mm]
[mm] =\bruch{5}{4}+1,5*x--\bruch{9}{4\pi}*x+\bruch{1}{2}[11x^2+2*(-\bruch{18}{\pi^2}-1)(x-0)(y-\bruch{\pi}{2})+\bruch{27}{\pi^2}-1*(y-\bruch{\pi}{2})]
[/mm]
das wäre doch dann das Polynom?
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Hallo marc1001,
> Das würde dann so aussehen.
>
> [mm]\bruch{5}{4}+1,5*(x-0)-\bruch{9}{4\pi}*(x-0)+\bruch{1}{2}[11*(x-0)^2+2*(-\bruch{18}{\pi^2}-1)(x-0)(y-\bruch{\pi}{2})+\bruch{27}{\pi^2}-1*(y-\bruch{\pi}{2})][/mm]
Die rot markierten Ausdrücke stimmen nicht:
Bei den blau markierten Ausdrücken hast Dich verschrieben:
[mm]\red{\bruch{5}{4}}+1,5*(x-0)-\bruch{9}{4\pi}*(\blue{y}-0)+\bruch{1}{2}[11*(x-0)^2+2*(-\bruch{18}{\red{\pi^2}}-1)(x-0)(y-\bruch{\pi}{2})+\left(\bruch{27}{\pi^2}-1\right)*(y-\bruch{\pi}{2})][/mm]
>
> [mm]=\bruch{5}{4}+1,5*x--\bruch{9}{4\pi}*x+\bruch{1}{2}[11x^2+2*(-\bruch{18}{\pi^2}-1)(x-0)(y-\bruch{\pi}{2})+\bruch{27}{\pi^2}-1*(y-\bruch{\pi}{2})][/mm]
>
> das wäre doch dann das Polynom?
>
Gruss
MathePower
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