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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Fr 13.01.2012 | | Autor: | yuppi |
| Aufgabe | Geg. die Fkt. [mm] f(x)=e^x+x^2
[/mm]
a) Berechne T2(x,1) mit Entwicklungspkt. 1
b) Zeigen sie mit Hilfe von T2 das
| [mm] e^x- \bruch{e}{2}(x^2+1) [/mm] | [mm] \le \bruch{e}{6}
[/mm]
für alle x [mm] \in [/mm] (0,1) gilt
Anmerkung: Mein Alpha soll das eigentliche xhi darstellen. |
Also die a) ist trivial und habe ich auch richtig gemacht.
Bei der b) (Restgliedabschätzung habe ich leider Probleme)
Also hier meine Lösung:
| [mm] \bruch{e^\alpha}{6} (\alpha-1)^3 [/mm] | [mm] \le \bruch{1}{6} [/mm] | [mm] e^\alpha(\alpha-1)^3|
[/mm]
Nun: da 1 (Entwicklungspunkt) [mm] \le \alpha \le [/mm] x
und x [mm] \in [/mm] (0,1) setze ich [mm] \alpha=0 [/mm] und es folgt
[mm] \le \bruch{1}{6} [/mm] |-1 | [mm] \le \bruch{1}{6} [/mm] (1) [mm] \le \bruch{e}{6}
[/mm]
Ich bedanke mich im Voraus. Hoffe jmd. kann mir sagen was ich falsch oder auch richtig gemacht habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Fr 13.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dazu gehört noch zu zeigen, dass bei [mm] \alpha=0 [/mm] du das max von [mm] |(x-1)^3| [/mm] hast, bzw dass das eine von 0 bis 1 fallende fkt ist, und dazu schreiben c=1
Grss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Fr 13.01.2012 | | Autor: | yuppi |
Also meine Aufgabe ist es bei diesem Typ Aufgabe zu zeigen, über die Abschätzung, wo die Fkt. beschrieben durch das [mm] \alpha [/mm] ihr Maximum hat ?
Was meinst du genau mit c=1 ? Was meinst du damit.
Noch eine Frage.
Das ich bei [mm] \alpha [/mm] = 0 das Maximum der Fkt. habe muss man das durch Ableitung der Funktion zeigen ? Und dann sagen, das ist ein Maximum ? Sonst gibt es keine Punkte ? Oder wie meinst du das ?
Da es ja ein Minimum und Maximum sein kann ?
Mein Problem ist allerdings, wenn ich das so mache wie du sagst.
Aber [mm] e^\alpha [/mm] hat doch sein Maximum bei [mm] \alpha=1 [/mm] .
Wieso betrachtest du nicht das Maximum von der e Funktion ?
Wäre nett wenn du mir das abschließend noch erklären könntest.
Ich danke im Voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Fr 13.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest zeigen <c(6, du hast <1/6 also ist dein c=1
2. du musst immer das max der entsprechenden ableitung im gefragten intervall nehmen. hier hilft ableiten nichts (in anderen Fällen schon) weil du ein randmx hast.
wie du die begründung machst ist egal. hier etwa |x-1|=1 für x=0 danach moonoton fallend bis x=1, dasselbe filt damit auch für [mm] |x-1|^3
[/mm]
du hast doch das Restglied , das exakt ist an einer - unbekannten- Zwischenstelle des intervalls. du kannst also nur den schlimmsten Wert angeben. du willst nen Funktionswert z.bsp von ex ja auf eine bestimmte genauigkeit bestimmen, d.h. in der situation kennst du doch [mm] e^x [/mm] gar nicht. dein TR oder computer etwa rechnet ja auch nur genäherte werte für [mm] e^x [/mm] aus dafür muss der programmierer auch dafür sorgen, dass die rechnung erst nach der letzten vom TR benutzten Stelle falsch werden kann. dein c/6 ist hierfür eben ein beispiel. d.h. für nen TR wäre [mm] T_2 [/mm] zu schlecht.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Fr 13.01.2012 | | Autor: | yuppi |
Ganz ehrlich.
Ich verstehe jetzt gar nichts mehr. Ich verstehe nicht was du mir sagen willst in den kurzen Sätzen.
Trotzdem danke .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Fr 13.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu dem Betrag: [mm] (...)^3 [/mm] hat dieselben Nullstellen und Vorzeichen wie (..) aber wenn dir der betrag außen besser passt ists ja egal
Welche Sätze verstehst du nicht?
dass in deinem fall c=1 ist?
dass du ein Randmax hast, das man nicht durch ableitung findet?
dass |x-1| in (0,1) fallend ist ?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Fr 13.01.2012 | | Autor: | yuppi |
Das c= 1 ist habe ich verstanden,
Ich verstehe nicht, das ich ein Randmaximum habe, dass man nicht durch ableitung findet.
Ich habe die Ableitung von [mm] (x-1)^3 [/mm] gebildet und erhalte dann das Extrema
[mm] x=1+\wurzel{3}
[/mm]
und [mm] x=1-\wurzel{3}
[/mm]
Du meinst jetzt weil diese Extrema nicht im Intervall x(0,1) liegen habe ich ein Randextrema, weil die bestimmten Extrema jeweils außerhalb liegen ?
Und du sagst jetzt ist x = 0 weil ==???
Bei [mm] x=1+\wurzel{3} [/mm] liegt ja ein Minimum. Das weiß man aber erst wenn man die zweite Ableitung bildet.
Und bei [mm] x=1-\wurzel{3} [/mm] ein Maximum.
Das heißt, das bei x=0 sozusagen das Randextrema befindet ? ist. Und dementsprechend dort monoton fallend ist.
Deshalb wählt man x=0
Korregier mich bitte so ausführlich wie du kannst. Das liegt mir sehr am Herzen.
Also Vorgehen:
Bilde 1. Ableitung: Bestimme Extrema
Bilde 2. Ableitung: Max / Min ?
Dann entscheiden, welchen x Wert man für [mm] \alpha [/mm] wählt.
Danke nochmals....
Das man die e-Funktion bei der Funktionsuntersuchung nicht genauer betrachtet ist mir nicht ganz klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Fr 13.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Das c= 1 ist habe ich verstanden,
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> Ich verstehe nicht, das ich ein Randmaximum habe, dass man
> nicht durch ableitung findet.
>
> Ich habe die Ableitung von [mm](x-1)^3[/mm] gebildet und erhalte
> dann das Extrema
Nein! die musst du falsch gebildet haben. du kennst doch sicher die fkt [mm] y=x^3 [/mm] und wie die aussieht. sie ist monoton steigend von - unendlich bis + unendlich und hat bei x=0 ne waagerechte tangente: Sattelpunkt.
[mm] (x-1)^3 [/mm] ist dieselbe kurve um 1 nach rechtsverschoben, also auch monotonsteigend mit Sattel bei x=1
für [mm] x\in(0,1) [/mm] bzw für x<1 ist [mm] f(x)=|(x-3)^3|=-(x-1)^3 [/mm] also fallend von i auf 0
Wenn du das unbedingt mit Ableitungen machen musst:
f'=-3 [mm] (x-1)^2\le0 [/mm] für alle x denn [mm] (..)^2\ge0
[/mm]
Aber slbst wenn deine fkt irgendwo ausserhalb des Intervalls in dem du sie abschätzen willst ein max hätte wäre das völlig uninteressant!
> [mm]x=1+\wurzel{3}[/mm]
> und [mm]x=1-\wurzel{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Du meinst jetzt weil diese Extrema nicht im Intervall
> x(0,1) liegen habe ich ein Randextrema, weil die bestimmten
> Extrema jeweils außerhalb liegen ?
Wenn es so wäre ja.
> Und du sagst jetzt ist x = 0 weil ==???
siehe oben |(x-1}^3| von 0 bis 1 fällt, der höchste wert also bei x=0 ist
>
> Bei [mm]x=1+\wurzel{3}[/mm] liegt ja ein Minimum. Das weiß man aber
> erst wenn man die zweite Ableitung bildet.
>
> Und bei [mm]x=1-\wurzel{3}[/mm] ein Maximum.
falsch siehe oben.
> Das heißt, das bei x=0 sozusagen das Randextrema befindet
> ? ist. Und dementsprechend dort monoton fallend ist.
> Deshalb wählt man x=0
> Korregier mich bitte so ausführlich wie du kannst. Das
> liegt mir sehr am Herzen.
>
> Also Vorgehen:
>
> Bilde 1. Ableitung: Bestimme Extrema
> Bilde 2. Ableitung: Max / Min ?
Nein! überlege wo im gegebenen intervall die fkt den grösten wert hat, das ist bei [mm] |(x-a)^n| [/mm] ≈ in einem intervall bei a immer an einem Rand , denn bei x=a f=0 ist immer der tiefste punkt, rechts und links davon steigt es.
Du hast es ja auch am anfang automatisch richtig gemacht, weil du "sahst" dass es bei x=0 am größten war.
> Das man die e-Funktion bei der Funktionsuntersuchung nicht
> genauer betrachtet ist mir nicht ganz klar.
du untersuchst NICHT die e-fkt, sondern willst eine Näherung der Werte der e-fkt in dem gegebenen iIntervall bestimmen und dabei wisen wie groß der Fehler höchstens ist.
Niemand kennt die Werte der e- fkt genau, du kannst also höchstens mit etwas vergleichen, was ein Rechner ausspuckt, der wahrscheinlich mit nem Taylorpolynom höherer ordnung arbeitet. die ist hier ein Beispiel dafür, wie man funktionswerte einer fkt bestimmt, von der man nur wert und Ableitungen an einem Punkt kennt. von der efkt braucht man dafür nur die Eigenschaft f'=f und f(0)=1 witere Werte müsen nicht bekannt sein und man kann f(x) an irgendeinem punkt ausrechnen und den Fehler angeben, den man gemacht hat!
hat es dich nie gewundert wie dein T oder computer [mm] e^0.3 [/mm] ausrechnet auf 12 stellen genau. und ebenso sin(0.3) usw.
das einzige was man exakt ausrechnen kann sind polynome mit rationalen koeffizienten an rationalen Stellen.
(natürlich kannst du, um zu sehen wieviel zu ungünstig deine abschätzung ist [mm] e^{0.5} [/mm] mit T2 berechnen, den Fehler angeben und dann mit dem genaueren Wert deines TR vergleichen, aber da verlässt du dich drauf dass die TR Hersteller ne gute Fehlerabschätzung gemacht haben. genau wie du es hier an nem einfachen Beispiel lernst.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:48 Sa 14.01.2012 | | Autor: | yuppi |
Danke für deine Geduld mit mir.
Ich müsste es nun endlich verstanden habe. Ich habe tatsächlich die falschen Extrema bestimmt gehabt.
Also man schaut wo die Fkt. ihren maximalen Wert hat.
Handelt es sich um komplexere Funktionen als diese, wo man nicht direkt ablesen kann, wo die Fkt. maximal ist bildet man die 1. Ableitung und setzt die möglichen Extrema in zweiten Ableitung.
Falls im betrachteten Intervall sind ein Hochpunkt befindet, wählt man diesen als x. Falls nicht betrachtet man die Randwerte.
Und schaut durch Monotonie genau wo die Fkt. maximal ist.
Ist eigentlich gar nicht so schwer. Ich hatte es anfangs x=0 gesehen, weil ich gesehen habe, das die Fkt. dort maximal ist und somit sehr nah an den Fehler
[mm] \bruch{e}{6} [/mm] ist. Aber wusste nicht genau weshalb.
Der Grund ist also, wenn ich dich richtig verstanden habe, das man durch die Abschätzung den Fehler so weit wie möglich reduzieren will. Und das haben wir dann sozusagen gemacht.
Ich meine ich habs verstanden. Danke nochmals.
Gute Nacht
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> Danke für deine Geduld mit mir.
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> Ich müsste es nun endlich verstanden habe. Ich habe
> tatsächlich die falschen Extrema bestimmt gehabt.
>
> Also man schaut wo die Fkt. ihren maximalen Wert hat.
> Handelt es sich um komplexere Funktionen als diese, wo man
> nicht direkt ablesen kann, wo die Fkt. maximal ist bildet
> man die 1. Ableitung und setzt die möglichen Extrema in
> zweiten Ableitung.
hallo,
das vorgehen gilt ja allgemein bei jeder kurvendiskussion
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> Falls im betrachteten Intervall sind ein Hochpunkt
> befindet, wählt man diesen als x. Falls nicht betrachtet
> man die Randwerte.
> Und schaut durch Monotonie genau wo die Fkt. maximal ist.
nein.. man untersucht bei _jeder_ kurvendiskussion die randwerte, wenn die funktion ränder hat. und am ende sucht man das maximum jeder extrema durch einsetzen in f(x). ist ja auch logisch: die monoton wachsende funktion f(x)=x hat kein extremum. ist sie jedoch nur auf den bereich (0;3) begrenzt, so liegt das maximum bei 3
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> Ist eigentlich gar nicht so schwer. Ich hatte es anfangs
> x=0 gesehen, weil ich gesehen habe, das die Fkt. dort
> maximal ist und somit sehr nah an den Fehler
> [mm]\bruch{e}{6}[/mm] ist. Aber wusste nicht genau weshalb.
> Der Grund ist also, wenn ich dich richtig verstanden habe,
> das man durch die Abschätzung den Fehler so weit wie
> möglich reduzieren will. Und das haben wir dann sozusagen
> gemacht.
den fehler kann man nicht reduzieren, ausser dass man die taylorpolynome für einen höheren grad berechnet. mit der fehlerabschätzung schätzt man die fehlergröße nur ab. bei taschenrechnern etwa würden der grad der polynome so weit erhöht, bis der fehler kleiner als eine festgelegte "schranke" wäre
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> Ich meine ich habs verstanden. Danke nochmals.
>
> Gute Nacht
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Fr 13.01.2012 | | Autor: | yuppi |
Mit welchem mathematischen Gesetz ist es dir erlaubt, die Beträge von der Gesamtenfunktion auf | [mm] (\alpha [/mm] - [mm] 1)^3 [/mm] | zu reduzieren ?
Danke schonmal.
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