Taylor Tangens < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Mo 01.10.2007 | | Autor: | Phecda |
Hi ich habe folgende Frage:
Berechnen sie die ersten vier terme der taylorentwicklung um 0 von tanx durch der reihen...
leider verstehe ich nicht wirklich was gemeint ist.
tan = sin/cos. super aber wie kann ich denn die beiden reihen teilen.
kann mir jmd das verständlich machen?
danke
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Mo 01.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Phecda,
man kann die Reihen tatsächlich durcheinander teilen. Allgemein geht das so: Du willst berechnen
[mm] \bruch{\displaystyle \summe_{i=0}^\infty a_i x^i}{\displaystyle \summe_{j=0}^\infty b_j x^j} [/mm] = [mm]\summe_{k=0}^\infty c_k x^k[/mm]
Die beiden Reihen links sind gegeben, du kennst also die Koeffizienten [mm]a_i[/mm] und [mm]b_j[/mm]. Die [mm]c_k[/mm] willst du ausrechnen.
Als Erstes multipliziert man den Nenner nach rechts:
[mm]\summe_{i=0}^\infty a_i x^i = \left(\summe_{j=0}^\infty b_j x^j\right)\left(\summe_{k=0}^\infty c_k x^k\right)[/mm]
Dann multipliziert man die rechte Seite aus und sammelt die Koeffizienten zu gleichen Potenzen von x:
[mm]\summe_{i=0}^\infty a_i x^i = \summe_{j=0}^\infty x^j \summe_{k=0}^j c_k b_{j-k}= \summe_{j=0}^\infty x^j \left(b_0 c_j + \summe_{k=0}^{j-1} c_k b_{j-k} \right)[/mm]
Durch Vergleichen der Koeffizienten bekommt man: [mm]a_0 = c_0 b_0[/mm] und
[mm]c_j = a_j - \bruch{1}{b_0} \summe_{k=0}^{j-1} c_k b_{j-k} [/mm]
Also hast du eine Regel, mit der du die Koeffizienten [mm]c_j[/mm] der Reihe nach ausrechnen kannst.
Es funktioniert natürlich nur für [mm]b_0\not=0[/mm], man kann es aber durch Ausklammern einer Potenz von x auf den Fall [mm]b_0=0[/mm] verallgemeinern.
Damit kannst du die Taylorreihe des Tangens ausrechnen.
Es gibt noch einen anderen Trick, der allerdings mit etwas Vorsicht anzuwenden ist. Dazu berechnest du das Taylorpolynom des Sinus und des Cosinus bis zum vierten Glied:
[mm]\bruch{\sin x}{\cos x} \approx \bruch{x-x^3/6}{1-x^2/2+x^4/24}[/mm]
Für kleine x lässt sich der Nenner in die geometrische Reihe entwickeln: Setze [mm]q=-x^2/2+x^4/24[/mm] und schreibe
[mm]\bruch{1}{1+q} \approx 1-q+q^2[/mm]
Ich breche bei [mm]q^2[/mm] ab, weil ab [mm]q^3[/mm] nur noch Potenzen [mm]x^6[/mm] und höher vorkommen.
Eingesetzt:
[mm]\bruch{\sin x}{\cos x} \approx \bruch{x-x^3/6}{1-x^2/2+x^4/24} \approx (x-x^3/6) \left( 1 - (-x^2/2 +x^4/24) + (-x^2/2 +x^4/24)^2\right)
[/mm]
Ich multipliziere aus und lasse alle Terme ab [mm]x^5[/mm] weg:
[mm]\bruch{\sin x}{\cos x}
\approx (x-x^3/6) (1 + x^2/2 -x^4/24 +x^4/4 ) = (x-x^3/6) (1 + x^2/2 + 5x^4/24) \approx x +x^3/3
[/mm]
Entscheidend bei diesem Trick ist es, immer genügend viele Terme mitzunehmen. Da du am Schluss alle Terme bis [mm]x^4[/mm] haben willst, musst du immer in jedem Zwischenschritt auch bis [mm]x^4[/mm] rechnen. Da muss man sehr aufpassen; deswegen empfehle ich dir, die allgemeine Formel oben zu benutzen.
Viele Grüße
Rainer
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