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Hallo zusammen,
gegeben sei die Funktion:
[mm] $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}} z^n$
[/mm]
Gesucht ist die Taylorentwicklung von $f$ um den Punkt [mm] $z_0=i$. [/mm]
Also suche ich eine Reihe der Form:
[mm] $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-i)^n$
[/mm]
mit [mm] $a_n=\frac{f^{(n)}(i)}{n!}$
[/mm]
Aber wie kann ich die Ableitungen von f ausrechnen. Wenn ich die obige Funktion f gliedweise differenziere bekomme ich zwar meine Ableitungen, aber da steht ja dann immer noch die Summe und das ganze wird sehr unübersichtlich. Da gibt es bestimmt eine bessere Methode oder?
Dankeschön 
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Hallo Patrick,
> Hallo zusammen,
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> gegeben sei die Funktion:
> [mm]f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}} z^n[/mm]
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> Gesucht ist die Taylorentwicklung von [mm]f[/mm] um den Punkt [mm]z_0=i[/mm].
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> Also suche ich eine Reihe der Form:
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-i)^n[/mm]
> mit
> [mm]a_n=\frac{f^{(n)}(i)}{n!}[/mm]
>
> Aber wie kann ich die Ableitungen von f ausrechnen. Wenn
> ich die obige Funktion f gliedweise differenziere bekomme
> ich zwar meine Ableitungen, aber da steht ja dann immer
> noch die Summe und das ganze wird sehr unübersichtlich. Da
> gibt es bestimmt eine bessere Methode oder?
Wie wäre es, wenn du f griffiger schreibst:
[mm]f(z)=\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^n=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}=\frac{1}{2-z}[/mm] für [mm]\left|z/2\right|<1[/mm], also [mm]|z|<2[/mm]
Dann normal Taylorentwicklung machen ...
> Dankeschön
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Fr 27.05.2011 | | Autor: | XPatrickX |
Genau, diese Idee habe ich gebraucht..Danke schachuzipus
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