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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Di 25.01.2011 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] lässt sich die Funktion f: (-1,1) [mm] \to \IR [/mm] mit x [mm] \mapsto ln(\bruch{1-x}{1+x}) [/mm] als ihre Taylorentwicklung darstellen? Begründen Sie Ihre Antwort. |
Hallo,
die n+1-te Ableitung [mm] f^{(n+1)} [/mm] habe ich bestimmt, allerdings verstehe nicht so ganz wie ich nun vorgehen muss. Das Lagrangerestglied muss für n [mm] \to \infty [/mm] gegen 0 gehen, damit f(x) und mit der Taylorreihe übereinstimmt, d.h. es ist zu zeigen:
[mm] \bruch{ f^{(n+1)}(c) * (x-a)^{n+1}}{(n+1)!}=0 (n\to \infty) [/mm] mit
[mm] f^{(n+1)}=n! (-(1-c)^{-n-1}+(-1)^{n+1} (1+c)^{-n-1})
[/mm]
Ich vermute, dass f(x) nur mit der Taylorreihe für x=a übereinstimmt.
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Tipps:
1. $ln(1+x) =x [mm] -\frac {x^2}{2}+\frac {x^3}{3}-\frac {x^4}{4}+.... =\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{(n-1)} [/mm] * [mm] \frac{x^n}{n}$ [/mm] für |x|<1
2. $ [mm] ln(\bruch{1-x}{1+x}) [/mm] = ln(1-x)-ln(1+x)$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Di 25.01.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die Tipps.
Ich habe nun die Taylorreihe von [mm] ln(\bruch{1-x}{1+x}) [/mm] bestimmt und festgestellt, dass diese für |x|<1, also für alle x des Definitionsbereichs konvergergiert. Nun würde ich zeigen, dass die n+1-te Ableitung $ [mm] f^{(n+1)}=n! (-(1-c)^{-n-1}+(-1)^{n+1} (1+c)^{-n-1}) [/mm] $ für n gegen unendlich gegen 0 konvergiert. Allerdings weiß ich nicht, wie ich dies zeigen soll.
Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Di 25.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso steht da (1-c) du entwickelst doch bei x=0?
2. nicht [mm] f^{(n+1)} [/mm] muss gegen 0 gehen, sondern das Restglied.(das i.A, kleiner ist)
und dabei musst du wissen dass die Werte alle <1 sind.
Gruss leduart
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Hallo,
in der Vorlesung haben wir das Restglied wie folgt definiert:
I Intervall, [mm] f:I\to \IR, [/mm] a, x [mm] \in [/mm] I. Dann gibt es c echt zwischen a und x so, dass:
[mm] f(x)=T_{f,a}^{n}(x) [/mm] + [mm] \bruch{f^{n+1}(c)*(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}
[/mm]
Ist die Definition so richtig? a ist der Entwicklungspunkt, den ich gleich 0 gesetzt habe. Also darf ich eigentlich c nicht 0 setzen, denn sonst liegt es nicht echt zwischen a und x.
Falls c auch gleich a sein darf, würde ich sagen:
Sei c gleich 0 und |x-a|<1. Dies ist für a=0 immer gegeben. Dann konvergiert das Restglied für n gegen [mm] \infty [/mm] gegen 0 und die Funktion kann für alle x [mm] \in [/mm] (-1,1) durch ihre Taylorentwicklung dargestellt werden. Ist das so richtig?
Katrin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 27.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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