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Hallo zusammen
Zur Prüfungsvorbereitung habe ich folgende Aufgabe gelöst und möchte nun wissen, ob dies stimmt. (Habe leider keine Lösungen dazu)
Es sei f: [mm] \IR^2 \to \IR, f(x,y)=ye^{x^2}
[/mm]
Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiter Ordnung von f in [mm] (x_0, y_0)=(-1,1)
[/mm]
Meine Lösung:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (x,y) = [mm] y*e^{x^2}*2x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] (x,y) = [mm] e^{x^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2} [/mm] (x,y) = [mm] y*e^{x^2}*4x^2+2*y*e^{x^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y^2} [/mm] (x,y) = 0
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y} [/mm] (x,y) = [mm] 2*x*e^{x^2}
[/mm]
Punkt [mm] (x_0,y_0)=(-1,1) [/mm] eingesetzt:
f(-1,1)=e
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (-1,1)= -2e
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] (-1,1)= e
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y} [/mm] (-1,1)= -2e
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2} [/mm] (-1,1)= 6e
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y^2} [/mm] (-1,1)= 0
Somit erhalte ich für das Taylorpolynom 2. Ordnung im Punkt [mm] (x_0,y_0) [/mm] = (0,0)
[mm] P_2(x,y)=ex^2+4ex+ey+3e [/mm]
Wäre sehr dankbar, wenn mir dies jemand kurz kontrollieren könnte!??? Oder gibt es online einen Rechner der mir das berechnen könnte?
Liebe Grüsse
Babybel
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Hallo,
> Hallo zusammen
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> Zur Prüfungsvorbereitung habe ich folgende Aufgabe gelöst
> und möchte nun wissen, ob dies stimmt. (Habe leider keine
> Lösungen dazu)
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> Es sei f: [mm]\IR^2 \to \IR, f(x,y)=ye^{x^2}[/mm]
> Bestimmen Sie das
> Taylorpolynom zweiter Ordnung von f in [mm](x_0, y_0)=(-1,1)[/mm]
>
> Meine Lösung:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (x,y) = [mm]y*e^{x^2}*2x[/mm]
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (x,y) = [mm]e^{x^2}[/mm]
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}[/mm] (x,y) = [mm]y*e^{x^2}*4x^2+2*y*e^{x^2}[/mm]
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}[/mm] (x,y) = 0
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/mm] (x,y) = [mm]2*x*e^{x^2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Punkt [mm](x_0,y_0)=(-1,1)[/mm] eingesetzt:
> f(-1,1)=e
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (-1,1)= -2e
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (-1,1)= e
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/mm] (-1,1)= -2e
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}[/mm] (-1,1)= 6e
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}[/mm] (-1,1)= 0
>
> Somit erhalte ich für das Taylorpolynom 2. Ordnung im
> Punkt [mm](x_0,y_0)[/mm] = (0,0)
Wieso jetzt $(0,0)$?
Oben war es doch $(-1,1)$
> [mm]P_2(x,y)=ex^2+4ex+ey+3e[/mm]
Das passt nicht (ich komme zumindest auf was ganz anderes ...), rechne mal vor, wie du das einsetzt und zusammenrechnest ...
Wie sieht denn die allg. Formel für das TP 2.Ordnung ausgeschrieben aus?
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> Wäre sehr dankbar, wenn mir dies jemand kurz kontrollieren
> könnte!??? Oder gibt es online einen Rechner der mir das
> berechnen könnte?
Möglicherweise auf wolframalpha?
Ich gucke gleich mal, ob das da klappt und ob der deine oder meine oder keine Lösung bestätigt 
>
> Liebe Grüsse
> Babybel
Gruß
schachuzipus
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Hallo
Also die allg. Form ist: (Schreibe f für [mm] f(x_0,y_0))
[/mm]
[mm] P_2(x,y)=f [/mm] + [mm] f_x *(x-x_0) [/mm] + [mm] f_y *(y-y_0) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*(f_{xx}*(x-x_0)^2 [/mm] + [mm] f_yy*(y-y_0) [/mm] + [mm] f_xy*(x-x_0)(y-y_0)) [/mm]
= e-2e(x+1)+e(y-1) [mm] +\bruch{1}{2}*(6e(x+1)^2+2*(-2e)*(x+1)*(x-1))
[/mm]
[mm] =e-2ex-2e+ey-e+\bruch{1}{2}*(6ex^2+12ex+6e-4ex^2+4e)
[/mm]
[mm] =-2ex-2e+ey+3ex^2-2ex^2+6ex+3e+2e=ex^2+4ex+ey+3e
[/mm]
Liebe Grüsse
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Hallo nochmal,
> Hallo
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> Also die allg. Form ist: (Schreibe f für [mm]f(x_0,y_0))[/mm]
> [mm]P_2(x,y)=f[/mm] + [mm]f_x *(x-x_0)[/mm] + [mm]f_y *(y-y_0)[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}*(f_{xx}*(x-x_0)^2[/mm] + [mm]f_yy*(y-y_0)\red{^2}[/mm] +
> [mm]\red 2f_xy*(x-x_0)(y-y_0))[/mm]
Edit: Doch nicht ganz ok ...
Hatte ich nicht genau genug hingesehen ...
> = e-2e(x+1)+e(y-1)[mm]+\bruch{1}{2}*(6e(x+1)^2+2*(-2e)*(x+1)*(\red{x}-1))[/mm]
Kleiner Verschreiber, das ist [mm] $\red [/mm] y$
> [mm]=e-2ex-2e+ey-e+\bruch{1}{2}*(6ex^2+12ex+6e\red{-4ex^2+4e})[/mm]
Also doch kein kleiner Verschreiber, sondern ein großer, der die weitere Rechnung kaputt macht ...
Bis zum roten Term ok, dann der Folgefehler ...
> [mm]=-2ex-2e+ey+3ex^2-2ex^2+6ex+3e+2e=ex^2+4ex+ey+3e[/mm]
>
> Liebe Grüsse
Gruß
schachuzipus
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Ach wie dummm....
Also ich habe nun (hoffe ich habe mich nirgends verrechnet)
[mm] P_2(x,y)=-ey+3ex^2+6ex+3e-2exy [/mm]
Stimmt das jetzt?
Liebe Grüsse
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Hallo nochmal,
> Ach wie dummm....
> Also ich habe nun (hoffe ich habe mich nirgends
> verrechnet)
> [mm]P_2(x,y)=-ey+3ex^2+6ex+3e-2exy[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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> Stimmt das jetzt?
Es ist zumindest identisch mit meiner Lösung 
> Liebe Grüsse
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Mi 27.08.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Ok. Vielen Dank für deine Hilfe! :)
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